Se o produto das raízes da equação x² + n² – 2nx – 64 = 0, onde x é a incógnita e n é constante, é igual a 36…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se o produto das raízes da equação x² + n² – 2nx – 64 = 0, onde x é a incógnita e n é constante, é igual a 36, então, a soma dos quadrados destas raízes é igual a (UECE 2023)
- A) 269.
- B) 296.
- C) 328.
- D) 382.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Escreva a equação na forma padrão ax² + bx + c = 0. Ela já está assim: x² - 2nx + (n² - 64) = 0, com a = 1, b = -2n e c = n² - 64. Passo 2: Pelas relações de Girard, a soma das raízes é S = -b/a = 2n e o produto é P = c/a = n² - 64. Passo 3: O enunciado diz que o produto é 36, então n² - 64 = 36, o que dá n² = 100. Passo 4: A soma dos quadrados das raízes é x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2·x1·x2 = S² - 2P. Passo 5: Substituindo, S² = 4n² = 400 e 2P = 72, logo x1² + x2² = 400 - 72 = 328. Passo 6: A alternativa correta é a C (328), que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (269) não corresponde a nenhuma combinação correta de S² e P com n² = 100; a alternativa B (296) resulta de um erro no cálculo de 2P, pois não é 2·52; a alternativa D (382) também não é obtida com S² = 400 e P = 36.
💡 Dica: Use relações entre coeficientes e raízes para encontrar a soma dos quadrados.
Alternativa por alternativa
Provavelmente errou na substituição de 4n² ou de 2P na fórmula S² - 2P, chegando a um valor que não corresponde a 400 - 72. Também pode ter calculado n² de forma incorreta antes de usar a fórmula.
Provavelmente calculou mal o termo 2P, usando um produto diferente de 36 ou fazendo a subtração de forma incorreta a partir de 400. Pode ter aplicado a fórmula da soma dos quadrados sem o fator 2 corretamente.
CORRETA. A soma dos quadrados das raízes é 328, obtida corretamente usando as relações de Viète e a fórmula (soma)² - 2(produto).
Provavelmente usou o valor de P ou de S² de forma errada, por exemplo tomando o produto como outro número ou aplicando a relação de Girard sem conferir o resultado final. Pode também ter confundido a soma dos quadrados com outra expressão.
Raio-X da questão
relações coeficientes raízes
diagnostico
equação quadrática · relações de Viète
Estude soma e produto das raízes de equações quadráticas.
Confundir produto das raízes com soma ou esquecer de aplicar fórmula para soma dos quadrados.
pensamento_critico
abstrato
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