A equação é x² = 2. Quais são as soluções e por que elas são números irracionais?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A equação é x² = 2. Quais são as soluções e por que elas são números irracionais?
- A) √2 e -√2, não são frações exatas
- B) 2 e -2, são números inteiros
- C) √2 e √2, as duas raízes são positivas
- D) 0,5 e -0,5, são números decimais
- E) 1 e -1, são números inteiros
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A equação x² = 2 pede os números que, elevados ao quadrado, resultam em 2. Ou seja, x é a raiz quadrada de 2, considerando as raízes positiva e negativa, pois (-algo)² também é positivo.
- As soluções são x = √2 e x = -√2, pois (√2)² = 2 e (-√2)² = 2.
- Para verificar se são irracionais, lembre que um número racional pode ser escrito como fração p/q com p e q inteiros e q diferente de zero, e que sua representação decimal é finita ou periódica. Já √2 não é quadrado perfeito, e a demonstração clássica por contradição mostra que √2 não pode ser igual a uma fração p/q irredutível. Logo, √2 é irracional, e -√2 também.
- Portanto a alternativa A está correta: √2 e -√2 não são frações exatas, ou seja, não são racionais.
- A alternativa B está errada, pois 2² = 4, não 2, e além disso 2 é inteiro e racional.
- A alternativa C está errada, pois a equação tem duas raízes, e -√2 é diferente de √2.
- A alternativa D está errada, pois 0,5² = 0,25, e além disso 0,5 é racional.
- A alternativa E está errada, pois 1² = 1, não 2, e as soluções não são inteiras.
- O gabarito oficial (A) coincide com a resolução feita aqui.
💡 Dica: Encontre os valores cujo quadrado é 2 e verifique se podem ser escritos como fração de inteiros.
Alternativa por alternativa
Ao elevar √2 e -√2 ao quadrado, o resultado é 2. Esses números não podem ser escritos como frações exatas.
O aluno lê x² = 2 como se fosse x = 2, tratando o expoente como se fosse uma igualdade direta, ou confunde a raiz quadrada com o próprio número. Assim, ignora a operação inversa da potenciação.
O aluno acerta que a raiz quadrada de 2 é √2, mas esquece a raiz negativa, achando que (-√2)² não é 2 ou que as duas raízes devem ser positivas. Não percebe que uma equação do segundo grau pode ter duas soluções simétricas.
Por que engana: O aluno pode confundir a raiz quadrada principal, √2, com a única solução e esquecer que tanto √2 quanto −√2, ao serem elevados ao quadrado, resultam em 2.
O aluno inverte a operação, achando que x é a metade de 2, ou seja, 2 dividido por 4 ou 1 dividido por 2. Assim, obtém 0,5 e confunde a raiz quadrada com divisão, além de não verificar que 0,5² = 0,25.
O aluno acredita que as soluções devem ser números inteiros pequenos e chuta 1 e -1, sem verificar que 1² = 1, não 2. Também não entende que a resposta de x² = 2 não pode ser inteira.
Raio-X da questão
Raízes irracionais de equação quadrática
avaliacao
Potenciação e raiz quadrada · Números racionais e irracionais
Revise raízes quadradas, números irracionais e a definição de solução de uma equação.
O aluno pode confundir a raiz quadrada principal, √2, com a única solução e esquecer que tanto √2 quanto −√2, ao serem elevados ao quadrado, resultam em 2.
tomada_decisao
abstrato
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