Sabendo-se que x = 2 é um zero do polinômio p(x) = 9x³ - 21x² + 4x + 4, é correto afirmar que a soma das…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sabendo-se que x = 2 é um zero do polinômio p(x) = 9x³ - 21x² + 4x + 4, é correto afirmar que a soma das outras duas raízes é igual a: (UFPR 2009)
- A) 1/3.
- B) 3/7.
- C) 1.
- D) 4/21.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Dividir p(x) = 9x³ - 21x² + 4x + 4 por (x - 2), já que x = 2 é raiz. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini com coeficientes 9, -21, 4, 4 e raiz 2: 9; -21 + 18 = -3; 4 + (-6) = -2; 4 + (-4) = 0. O quociente é 9x² - 3x - 2, e o resto é zero, confirmando que 2 é raiz.
- Encontrar as raízes do quociente 9x² - 3x - 2 = 0. O discriminante é Δ = (-3)² - 4·9·(-2) = 9 + 72 = 81, e a raiz quadrada de 81 é 9. Assim x = (3 ± 9)/18, ou seja, x = 2/3 ou x = -1/3.
- As duas outras raízes são 2/3 e -1/3. A soma delas é 2/3 + (-1/3) = 1/3.
- Conferência pelas relações de Girard: a soma de todas as raízes de um polinômio de grau 3 é -(coeficiente de x²)/(coeficiente de x³) = -(-21)/9 = 21/9 = 7/3. Subtraindo a raiz conhecida 2, obtemos 7/3 - 2 = 1/3, o mesmo resultado.
- Comparação com o gabarito: a alternativa correta é a A (1/3), coincidindo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a B (3/7) é o inverso de 7/3, a soma total das raízes, e não a soma das outras duas; a C (1) não corresponde a nenhuma relação de Girard do polinômio; a D (4/21) resulta de combinar mal os coeficientes 4 e 21 e ignorar o coeficiente 9.
💡 Dica: Use a soma das raízes pelo coeficiente do polinômio.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A soma das raízes do polinômio é dada por 21/9 = 7/3, e subtraindo a raiz conhecida 2, a soma das outras duas é 7/3 - 2 = 1/3.
O aluno calculou a soma total das raízes (7/3) mas inverteu a fração, obtendo 3/7, e esqueceu de subtrair a raiz x = 2 que já era conhecida.
O aluno tomou o quociente entre os termos independentes e o coeficiente de x (4/4 = 1) como se fosse a soma das raízes, confundindo as relações de Girard com a leitura direta dos coeficientes.
O aluno leu mal os coeficientes, usando 4 (coeficiente de x) dividido por 21 (valor absoluto do coeficiente de x²), ignorando o coeficiente 9 e o sinal das relações de Girard.
Raio-X da questão
raizes de polinomio soma
diagnostico
propriedades de polinomios · teorema de Viète
Estude propriedades das raizes de polinomios e teorema de Viète.
Confundir soma das raizes com produto ou esquecer que uma raiz ja e conhecida.
pensamento_critico
abstrato
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