Considerando as funções reais de variável real f, g, h, k e q assim definidas: f(x) = x², g(x) = 2^x, h(x) =…

Questão

Considerando as funções reais de variável real f, g, h, k e q assim definidas: f(x) = x², g(x) = 2^x, h(x) = senx, k(x) = cosx e q(x) = log2(x² + 1), onde log2 m denota o logaritmo de m na base 2, analise as seguintes afirmações: I. Ao representarmos graficamente as funções f e g, em um plano munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, verificamos que seus gráficos possuem exatamente 3 (três) pontos de interseção. II. As funções h e k são periódicas com períodos p e 2 p respectivamente. III. A função q é uma função par. IV. O menor número do conjunto imagem da função composta g o f, definida por (g o f)(x) = g(f(x)), é igual a 1. O número de afirmações verdadeiras é (UECE 2025)

1. A) dois.
2. B) um.
3. C) quatro.
4. D) três.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Afirmação I. Os pontos de interseção de f e g satisfazem x^2 = 2^x. Para x = 2, temos 4 = 4; para x = 4, temos 16 = 16. Para x negativo, 2^x é sempre positivo e tende a zero, enquanto x^2 cresce. Em x = -1, f(x) = 1 e g(x) = 0,5, então f está acima de g; em x = -0,5, f(x) = 0,25 e g(x) = 0,707, então g está acima de f. Portanto há um terceiro cruzamento entre -1 e -0,5. São 3 pontos de interseção, e a afirmação I é verdadeira. Passo 2: Afirmação II. O seno e o cosseno têm período fundamental 2π. Se p = 2π, o período fundamental de k é 2π, que é igual a p, e não 2p = 4π. Como o período de k deve ser o menor positivo, a afirmação II é falsa. Passo 3: Afirmação III. Calculando q(-x) = log2((-x)^2 + 1) = log2(x^2 + 1) = q(x). Logo q é par, e a afirmação III é verdadeira. Passo 4: Afirmação IV. A composta é (g o f)(x) = 2^(x^2). Como x^2 é maior ou igual a 0, temos 2^(x^2) maior ou igual a 2^0 = 1, e o valor 1 é atingido em x = 0. Logo o menor valor da imagem é 1, e a afirmação IV é verdadeira. Passo 5: Contagem. As afirmações verdadeiras são I, III e IV, num total de três. Resposta: alternativa D. Por que as outras estão erradas: A (dois) e B (um) contam menos afirmações verdadeiras do que as três que realmente são; C (quatro) conta a afirmação II como verdadeira, o que não ocorre.

💡 Dica: Analise cada afirmação usando propriedades das funções dadas.

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Raio-X da questão

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