Se f, g e h são funções reais de variável real definidas respectivamente por f(x) = 1/x, g(x) = (x+1)/(x-1) e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se f, g e h são funções reais de variável real definidas respectivamente por f(x) = 1/x, g(x) = (x+1)/(x-1) e h(x) = x², é correto afirmar que o gráfico da função composta h º g º f = h(g(f)), (h º g º f)(x) = h(g(f(x))) cruza o eixo dos x (eixo horizontal no sistema de coordenadas cartesianas usual) em um ponto cuja abcissa é um número (UECE 2019)
- A) inteiro negativo.
- B) inteiro positivo.
- C) irracional negativo.
- D) irracional positivo.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule a composta. Como f(x) = 1/x, temos g(f(x)) = g(1/x) = (1/x + 1)/(1/x - 1). Multiplicando numerador e denominador por x, obtemos (1 + x)/(1 - x). Passo 2: Aplique h. Como h(y) = y^2, temos (h o g o f)(x) = ((1 + x)/(1 - x))^2. Passo 3: Determine o domínio. A função exige x diferente de 0 (por causa de f) e g(f(x)) exige 1/x diferente de 1, ou seja, x diferente de 1. Passo 4: Encontre o cruzamento com o eixo x. O gráfico cruza o eixo x onde a função vale zero, o que ocorre quando o numerador é zero: 1 + x = 0, logo x = -1. Passo 5: Verifique a validade. Substituindo x = -1 na composta: ((1 - 1)/(1 + 1))^2 = 0, e x = -1 pertence ao domínio. Passo 6: Conclusão. A abscissa do ponto de cruzamento é -1, que é um inteiro negativo. Alternativa B está errada, pois -1 não é positivo. Alternativa C está errada, pois -1 é racional. Alternativa D está errada, pois -1 não é irracional nem positivo. O gabarito oficial A está correto.
💡 Dica: Calcule a função composta e encontre onde ela zera.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O zero da função composta ocorre para x = -1, que é um inteiro negativo.
O aluno calcula corretamente que o numerador zera, mas perde o sinal ao resolver 1 + x = 0 e obtém x = 1, ou troca o numerador pelo denominador (1 - x = 0), chegando a um inteiro positivo.
O aluno acredita que, por a função envolver uma potência quadrada, o zero deve vir de uma equação do tipo x^2 = 2, produzindo raízes irracionais, e não percebe que o zero da composta é uma raiz simples do numerador.
O aluno tenta resolver a equação da composta pela fórmula de Bhaskara, como se fosse do segundo grau, e obtém raízes com radical positivo, sem perceber que basta anular o numerador de forma linear.
Raio-X da questão
função composta e zeros
diagnostico
função real de variável real · composição de funções
Estude composição de funções e zeros de funções.
Confundir a ordem da composição ou esquecer de substituir corretamente as funções na composição.
pensamento_critico
abstrato
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