Desenhados em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções reais de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Desenhados em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções reais de variável real f, g e h, que são definidas por f(x) = 2x, g(x) = x² e h(x) = 2^x, possuem exatamente um ponto P em comum. A soma dos quadrados das coordenadas de P é um número múltiplo de (UECE 2022)
- A) 6.
- B) 5.
- C) 3.
- D) 8.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O ponto P deve pertencer aos gráficos de f, g e h ao mesmo tempo, então suas coordenadas (x, y) devem satisfazer y = 2x, y = x^2 e y = 2^x simultaneamente.
- Igualando f e g, temos 2x = x^2, logo x(x - 2) = 0, e as possíveis abscissas são x = 0 e x = 2.
- Testando x = 0 em h, temos h(0) = 2^0 = 1, que é diferente de f(0) = 0. Logo x = 0 não serve.
- Testando x = 2, temos f(2) = 4, g(2) = 4 e h(2) = 2^2 = 4. Os três valores coincidem, então P = (2, 4) é o ponto comum às três funções.
- A soma dos quadrados das coordenadas de P é 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20.
- Como 20 = 5 x 4, o número 20 é múltiplo de 5. Entre as alternativas, só 5 (alternativa B) divide 20. As demais estão erradas: 6 não divide 20, 3 não divide 20 e 8 não divide 20.
- O gabarito oficial B está correto e coincide com a resolução obtida.
💡 Dica: Encontre o ponto comum resolvendo o sistema e calcule a soma dos quadrados das coordenadas.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente somou as coordenadas de P = (2, 4), obtendo 2 + 4 = 6, em vez de somar os quadrados. O enunciado pede a soma dos quadrados das coordenadas.
CORRETA. A soma dos quadrados das coordenadas do ponto P, que é (2,4), é 2² + 4² = 4 + 16 = 20, que é múltiplo de 5.
O aluno provavelmente considerou apenas a interseção de f e h no ponto x = 1 (onde 2x = 2 = 2^1), obtendo (1, 2), e somou 1 + 2 = 3. Ele ignorou que o ponto precisa pertencer também ao gráfico de g, e que a soma pedida é de quadrados.
O aluno provavelmente encontrou P = (2, 4) corretamente, mas trocou a coordenada y = 4 por 2 (ou tomou 2^2 + 2^2), obtendo 4 + 4 = 8. Esse erro de leitura das coordenadas leva ao número 8.
Raio-X da questão
funcoes, ponto comum, coordenadas
avaliacao
funcoes reais de variavel real · sistema de equacoes
Estude sistemas de equacoes e propriedades de funcoes.
Confundir as funcoes e nao verificar o ponto comum corretamente, ou errar ao calcular a soma dos quadrados.
pensamento_critico
abstrato
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