A medida da aresta de um cubo inscrito em uma esfera cuja medida do raio é 3 m, expressa em metros, é igual a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A medida da aresta de um cubo inscrito em uma esfera cuja medida do raio é 3 m, expressa em metros, é igual a (UECE 2024)
- A) 2√3.
- B) 3√2.
- C) √6.
- D) 2√2.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O cubo inscrito na esfera tem todos os vértices sobre a superfície esférica, então a diagonal do cubo (diagonal espacial) é igual ao diâmetro da esfera. Como o raio é 3 m, o diâmetro é 6 m. Passo 2: Se a é a medida da aresta, a diagonal espacial do cubo vale a raiz de 3 vezes a, pois a diagonal de uma face é a raiz de 2 vezes a e a diagonal espacial forma, com essa diagonal da face e uma aresta, um triângulo retângulo: d^2 = a^2 + (a raiz de 2)^2 = 3a^2. Passo 3: Igualando a diagonal espacial ao diâmetro: a raiz de 3 vezes a = 6, logo a = 6 / raiz de 3 = 6 raiz de 3 / 3 = 2 raiz de 3 metros. Passo 4: Portanto a alternativa A está correta, em concordância com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa B (3 raiz de 2) corresponde à aresta que teria diagonal da face igual a 6, e não a diagonal espacial; a alternativa C (raiz de 6) não corresponde a nenhuma relação correta entre o diâmetro 6 e a aresta; a alternativa D (2 raiz de 2) não satisfaz a igualdade raiz de 3 vezes a = 6, pois daria diagonal espacial de aproximadamente 4,9 m.
💡 Dica: Use a relação entre a diagonal do cubo e o diâmetro da esfera para encontrar a aresta.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera, ou seja, 6 m; como a diagonal do cubo é a aresta vezes √3, a aresta é 6/√3 = 2√3.
O aluno provavelmente igualou a diagonal de uma face do cubo ao diâmetro da esfera, usando a relação a raiz de 2 = 6, quando a diagonal que deve coincidir com o diâmetro é a diagonal do cubo, a raiz de 3 vezes a.
O aluno provavelmente misturou os fatores raiz de 2 e raiz de 3 ao montar a relação entre a aresta e a diagonal do cubo, ou errou a racionalização ao isolar a, chegando a uma expressão que não corresponde a 6 dividido por raiz de 3.
O aluno provavelmente tomou a relação com a diagonal da face (raiz de 2) como se fosse a diagonal do cubo, ou usou o raio no lugar do diâmetro de forma incorreta, obtendo uma aresta de 2 raiz de 2 que não satisfaz a diagonal espacial igual a 6.
Raio-X da questão
cubo inscrito em esfera
avaliacao
propriedades do cubo · relações geométricas básicas
estude propriedades de cubos e esferas e relações entre arestas e diagonais
Confundir a diagonal da face com a diagonal espacial do cubo ou esquecer que o raio da esfera é metade da diagonal do cubo.
pensamento_critico
abstrato
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