Um cubo que está no interior de uma esfera cuja medida do raio é 3 m tem uma de suas faces (e, portanto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um cubo que está no interior de uma esfera cuja medida do raio é 3 m tem uma de suas faces (e, portanto, quatro vértices) sobre um plano que passa pelo centro da esfera e os demais vértices sobre a superfície esférica. A razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é (UECE 2012)
- A) 3 π.
- B) √3 π.
- C) 6 π.
- D) √6 π.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A esfera tem raio 3, então seu volume é (4/3)·pi·3^3 = 36 pi.
- Seja a a aresta do cubo. A face de baixo está sobre o plano que passa pelo centro O da esfera, e seu centro está sobre o eixo perpendicular a esse plano. Os vértices de baixo estão a uma distância a/√2 do eixo, logo a distância deles até O é a/√2 (estão dentro da esfera, pois o enunciado só exige que os demais vértices estejam sobre a superfície).
- Os vértices de cima estão na altura a em relação ao plano e a uma distância horizontal a/√2 do eixo. Como estão sobre a superfície esférica, vale (a/√2)^2 + a^2 = 3^2, ou seja, a^2/2 + a^2 = 9, logo 3a^2/2 = 9 e a^2 = 6. Assim a = √6.
- Volume do cubo = a^3 = (√6)^3 = 6√6.
- Razão = 36 pi / (6√6) = 6 pi / √6 = √6 pi. Portanto a alternativa D está correta, coincidindo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 3 pi exigiria volume do cubo igual a 12, o que não corresponde à aresta obtida. B) √3 pi exigiria volume 12√3, que também não corresponde a a = √6. C) 6 pi exigiria volume do cubo igual a 6, o que ocorre somente se confundirmos o volume com a^2 em vez de a^3.
💡 Dica: Use relações geométricas entre cubo e esfera para calcular volumes.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calcula um volume do cubo igual a 12 por algum erro na aresta ou na sua potência, obtendo uma razão de 36 pi / 12 = 3 pi.
O aluno provavelmente erra a equação da distância, por exemplo tomando a diagonal da face em vez da aresta, e chega a um volume de 12√3 para o cubo.
O aluno encontra corretamente a aresta √6, mas calcula o volume como a^2 em vez de a^3, obtendo 6 e razão 36 pi / 6 = 6 pi.
CORRETA. A razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é √6π, obtida ao relacionar a diagonal do cubo com o diâmetro da esfera e calcular os volumes correspondentes.
Raio-X da questão
volume esfera e cubo
avaliacao
volume de cubo e esfera · relações geométricas no espaço
estude volume de cubo e esfera e relações geométricas
Confundir a posição dos vértices e calcular volumes incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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