Considere uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado, contida em uma esfera, de tal modo que a base da…

Questão

Considere uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado, contida em uma esfera, de tal modo que a base da pirâmide contém o centro da esfera e os vértices da pirâmide sejam pontos da superfície esférica. Se a medida do raio da esfera é igual a 1 metro, então, a medida do volume da pirâmide em metros cúbicos é igual a (UECE 2021)

1. A) 2/3.
2. B) 3/5.
3. C) 3/4.
4. D) 1/2.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Como a base da pirâmide contém o centro da esfera, o plano da base passa pelo centro, logo a base é um quadrado contido em um círculo máximo (de raio 1). Passo 2: A altura da pirâmide é a distância do vértice ao plano da base. Como o vértice está na superfície esférica e o plano da base passa pelo centro, a altura é igual ao raio, ou seja, h = 1 metro. Passo 3: A área da base é a maior possível quando o quadrado está inscrito no círculo de raio 1. A diagonal do quadrado é o diâmetro, que vale 2. Como a diagonal de um quadrado de lado L é L raiz de 2, temos L raiz de 2 = 2, então L = raiz de 2 e a área é L^2 = 2. Passo 4: Volume = (1/3) x área da base x altura = (1/3) x 2 x 1 = 2/3 metros cúbicos. Passo 5: Portanto a alternativa A está correta, em conformidade com o gabarito oficial. As outras alternativas estão erradas: B (3/5) não corresponde a nenhuma configuração geométrica válida com altura 1 e base inscrita; C (3/4) exigiria base de área 9/4, o que é impossível dentro do círculo de raio 1; D (1/2) exigiria base de área 1 com fator 1/2 em vez de 1/3, o que está errado na fórmula do volume da pirâmide.

💡 Dica: Use propriedades da esfera e da pirâmide para relacionar dimensões e calcular o volume.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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