Nota: O prolongamento do segmento IK corta o lado OE no ponto M formando o triângulo OIM retângulo isósceles…

Questão

Nota: O prolongamento do segmento IK corta o lado OE no ponto M formando o triângulo OIM retângulo isósceles. Considere, no plano, o triângulo OIE e K um ponto em seu interior, tal que as medidas dos ângulos OîK, ÊÔI, KÊO são, cada uma delas, iguais a 45º. Se a medida do lado IE é igual a 8 m, então, é correto afirmar que a medida, em m², da área do quadrilátero OIKE é igual a (UECE 2024)

1. A) 28.
2. B) 30.
3. C) 26.
4. D) 32.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. O ângulo OIK = 45° e M está no prolongamento de IK, logo o ângulo OIM = 45°. Como o ângulo EOI = 45° e a soma dos ângulos de OIM é 180°, o ângulo em M é reto. Assim M é o pé da perpendicular baixada de I sobre OE, e o triângulo OIM é retângulo isósceles, com MI = MO = h. Passo 2: Coloque O na origem e OE sobre o eixo x, com E = (e, 0). Então I = (h, h), pois MI = h e M = (h, 0) fica sobre o eixo x. Passo 3: Como K está sobre o segmento IM, sua abscissa é h. O ângulo KEO = 45° significa que a reta EK forma 45° com o eixo x, logo K = (h, e - h). Passo 4: Calcule a área do quadrilátero O, I, K, E pela fórmula do cadarço, com vértices O(0,0), I(h,h), K(h, e - h) e E(e,0). Obtém-se área = (e^2 - 2he + 2h^2)/2. Passo 5: Use IE = 8: (e - h)^2 + h^2 = 64. Chamando u = e - h, temos e^2 - 2he + 2h^2 = u^2 + h^2 = 64. Logo a área é 64/2 = 32 m². Passo 6: Verificação das erradas: a área é determinada de forma única e vale 32, então 28, 30 e 26 não podem ser a resposta. A alternativa 28 não corresponde a nenhum passo correto, e o mesmo vale para 30 e 26.

💡 Dica: Use propriedades de triângulos retângulos isósceles para calcular áreas.

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Raio-X da questão

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