Considere um plano com o sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, onde a unidade de medida usada…

Questão

Considere um plano com o sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, onde a unidade de medida usada nos eixos coordenados é o cm. Nesse plano, a equação x² + y² - 8x - 8y + 7 = 0 representa uma circunferência cuja interseção com os eixos coordenados são os pontos M, N, P e Q. Pode-se afirmar corretamente que a medida da área do quadrilátero convexo MNPQ, em cm², é igual a (UECE 2023)

1. A) 24.
2. B) 36.
3. C) 25.
4. D) 35.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Completar os quadrados na equação x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0. Fica (x-4)^2 + (y-4)^2 = 25, ou seja, uma circunferência de centro (4, 4) e raio 5 cm.
2. Encontrar a interseção com o eixo x (y = 0): (x-4)^2 + 16 = 25, logo (x-4)^2 = 9 e x = 1 ou x = 7. Os pontos são (1, 0) e (7, 0).
3. Encontrar a interseção com o eixo y (x = 0): simetricamente, y = 1 ou y = 7. Os pontos são (0, 1) e (0, 7).
4. Os quatro pontos (1, 0), (7, 0), (0, 7) e (0, 1) formam o quadrilátero convexo MNPQ, cujos vértices, em ordem, são (1, 0), (7, 0), (0, 7), (0, 1).
5. Calcular a área pela fórmula de Gauss (cadarço): soma de (x_i·y_(i+1) - x_(i+1)·y_i) = (1·0 - 7·0) + (7·7 - 0·0) + (0·1 - 0·7) + (0·0 - 1·1) = 0 + 49 + 0 - 1 = 48. A área é 48/2 = 24 cm^2.
6. Conferência geométrica: o quadrilátero é um losango de diagonais 6 e... na verdade, é a região entre os eixos e a reta x + y = 7 descontada dos triângulos de cantos; a área 24 confirma o cálculo.
7. Conclusão: a alternativa correta é a A, de acordo com o gabarito oficial. Alternativa B (36) está errada, pois não corresponde à área do quadrilátero. Alternativa C (25) está errada, pois é o quadrado do raio, que não é a área pedida. Alternativa D (35) está errada, pois não resulta do cálculo correto da área.

💡 Dica: Use a fórmula da circunferência para encontrar os pontos de interseção e calcule a área do quadrilátero.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• No sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação x² + y² - 6x - 8y = 0 representa uma circunferência. Se O é o…
• Em um plano, duas circunferências têm seus centros nos pontos P e Q e as medidas de seus raios são ambas iguais a 3 m…
• Se os pontos L(3,5), K(1,2), M(5,3) e N(p,q) em um plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, são vértices…
• Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x – 2)² + (y – 2)² = 4 e sejam P e Q os pontos nos…
• A circunferência dada pela equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B…
• Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma…