Em uma circunferência com centro no ponto M, cuja medida do diâmetro é igual a 20 m, considere um arco com…

Questão

Em uma circunferência com centro no ponto M, cuja medida do diâmetro é igual a 20 m, considere um arco com extremidades P e Q medindo exatamente um quarto do comprimento da circunferência. Se X é um ponto do arco tal que o triângulo MXQ é equilátero e Y é um ponto do segmento MP tal que o triângulo MYX é retângulo em Y, então, a medida da área do triângulo MYX, em m², é (UECE 2020)

1. A) 15 √3.
2. B) 12,5 √3.
3. C) 12 √5.
4. D) 10,5 √5.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. O diâmetro é 20 m, logo o raio MP = MQ = MX = 10 m. Passo 2: Um quarto da circunferência corresponde a um ângulo central de 90 graus, então o ângulo PMQ = 90 graus. Passo 3: O triângulo MXQ é equilátero, logo o ângulo XMQ = 60 graus. Como X está no arco PQ, entre P e Q, o ângulo PMX = 90 - 60 = 30 graus. Passo 4: Y está sobre o segmento MP, então o ângulo YMX = 30 graus. No triângulo retângulo MYX (reto em Y), a hipotenusa é MX = 10. Passo 5: O cateto adjacente ao ângulo de 30 graus é MY = 10 · cos 30 = 10 · (raiz de 3)/2 = 5 raiz de 3. O cateto oposto é YX = 10 · sen 30 = 5. Passo 6: A área é (MY · YX)/2 = (5 raiz de 3 · 5)/2 = 12,5 raiz de 3 m². Passo 7: Assim, a resposta é a alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 15 raiz de 3 não resulta de MY = 5 raiz de 3 e YX = 5. C) 12 raiz de 5 introduz raiz de 5, que não aparece nas relações trigonométricas de 30 e 60 graus. D) 10,5 raiz de 5 também usa raiz de 5 e não corresponde a nenhum produto dos catetos corretos.

💡 Dica: Use propriedades de triângulos equiláteros e retângulos para calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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