Sejam a e b números reais positivos e distintos. Se 0 < a < 1, e, se a função f: R ? R é definida por f(x) =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam a e b números reais positivos e distintos. Se 0 < a < 1, e, se a função f: R ? R é definida por f(x) = ba^x, então o valor da “soma infinita” f(1) + f(2) + f(3) + · · · + f(n) + · · · é (UECE 2023)
- A) (a²b) / (1−a).
- B) (ab) / (1−a).
- C) b / (1−a).
- D) (b²) / (1−a).
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule os primeiros termos da soma usando f(x) = b a^x. Para x = 1, f(1) = b a^1 = ab. Para x = 2, f(2) = b a^2. Para x = 3, f(3) = b a^3, e assim por diante.
- Observe que a sequência ab, aba^2... tem a forma de uma progressão geométrica: cada termo é o anterior multiplicado por a. O primeiro termo é a1 = ab e a razão é q = a.
- Como 0 < a < 1, a PG é decrescente e convergente, e a soma infinita de uma PG é S = a1 / (1 - q) = ab / (1 - a).
- Portanto a alternativa B, (ab)/(1 - a), é a correta, o que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque a soma começa em ba, não em ba^2. A alternativa C está errada porque ignora o fator a do primeiro termo, como se f(1) fosse b. A alternativa D está errada porque eleva b ao quadrado, o que não aparece em nenhum termo da soma.
- Não há divergência com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula da soma da série geométrica infinita para resolver.
Alternativa por alternativa
O aluno desloca o índice e considera que o primeiro termo da soma é f(2) = b a^2, em vez de f(1) = ab, o que gera a^2 b no numerador.
CORRETA. A soma da série geométrica f(1)+f(2)+... é b*a/(1−a), pois a razão é a e o primeiro termo é ba.
O aluno esquece o fator a do primeiro termo e trata f(1) como se fosse b, confundindo a^1 com a^0.
O aluno confunde o produto b·a com uma potência e escreve b^2 no numerador, aplicando de forma errada a regra de multiplicação ou potenciação do coeficiente.
Raio-X da questão
soma série geométrica infinita
diagnostico
função exponencial · propriedades de potências
Estude séries geométricas e suas somas infinitas.
Confundir a soma da série infinita com soma finita ou não aplicar a fórmula correta da soma da série geométrica.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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