Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² - b funções, com a e b números reais. Sabendo que r = 1/2 é a única raiz da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² - b funções, com a e b números reais. Sabendo que r = 1/2 é a única raiz da função composta f(x) = q(p(x)), assinale a alternativa que corresponde à soma a + b. (UFPR 2024)
- A) -2
- B) -1
- C) -1/2
- D) 1/2
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Monte a função composta. f(x) = q(p(x)) = q(x + a) = (x + a)^2 - b. Expandindo, f(x) = x^2 + 2ax + a^2 - b.
- Uma função quadrática tem uma única raiz real apenas quando o discriminante é zero, ou seja, quando a raiz é dupla. Como f(x) = (x + a)^2 - b, isso ocorre quando b = 0, pois (x + a)^2 = 0 tem como única solução x = -a.
- O enunciado diz que a única raiz é r = 1/2. Logo, -a = 1/2, o que dá a = -1/2.
- Com a = -1/2 e b = 0, a soma é a + b = -1/2 + 0 = -1/2. Esse resultado coincide com o gabarito oficial, alternativa C.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A (-2) surgiria de inverter a relação entre a e r, tomando a = -1/r em vez de a = -r. A alternativa B (-1) apareceria ao atribuir b = -1/2 em vez de b = 0. A alternativa D (1/2) corresponde a trocar o sinal de a, usando a = r em vez de a = -r.
- Verificação. Com a = -1/2 e b = 0, f(x) = (x - 1/2)^2, cuja única raiz é x = 1/2, como exige o enunciado. A resposta é -1/2, alternativa C.
💡 Dica: Use a definição da função composta e as condições da raiz para montar equações e resolver para a + b.
Alternativa por alternativa
Escreve a condição da raiz como a = -1/r, dividindo em vez de igualar, o que daria a = -2. Não percebe que a raiz de x + a = 0 é x = -a, portanto a = -r.
Acerta a = -1/2, mas atribui a b o valor -1/2, copiando o sinal de a. Não percebe que a unicidade da raiz exige b = 0 (discriminante nulo).
CORRETA. A soma a + b = -1/2 é a única que permite que 1/2 seja a única raiz da função composta, atendendo às condições do problema.
Confunde o sinal da raiz e iguala a = 1/2, como se a fosse a própria raiz. Esquece que a raiz de x + a = 0 é -a.
Raio-X da questão
função composta e raízes
avaliacao
função polinomial do 1º e 2º grau · raízes de funções quadráticas
Estude funções compostas e como encontrar raízes de funções quadráticas.
Confundir a função composta com a soma ou produto das funções, ou esquecer que a raiz deve ser única.
pensamento_critico
abstrato
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