Seja f a função real definida para x real positivo por f(x) = v(2x). Se definirmos a1 = v2 e para cada número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja f a função real definida para x real positivo por f(x) = v(2x). Se definirmos a1 = v2 e para cada número natural n > 1, a? = f(a??1), então o valor de a4 é (UECE 2012)
- A) 2^(1/16).
- B) 2^(5/16).
- C) 2^(13/16).
- D) 2^(15/16).
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A função é f(x) = raiz quadrada de (2x), e a sequência é a1 = raiz de 2 = 2^(1/2), com a_n = raiz de (2 * a_(n-1)) para n > 1. Passo 2: Calcule a2 = raiz de (2 * 2^(1/2)) = raiz de 2^(3/2) = 2^(3/4), pois dividir o expoente de uma raiz quadrada por 2 dá (3/2)/2 = 3/4. Passo 3: Calcule a3 = raiz de (2 * 2^(3/4)) = raiz de 2^(7/4) = 2^(7/8), pois (7/4)/2 = 7/8. Passo 4: Calcule a4 = raiz de (2 * 2^(7/8)) = raiz de 2^(15/8) = 2^(15/16), pois (15/8)/2 = 15/16. Passo 5: Portanto a4 = 2^(15/16), que é a alternativa D, igual ao gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 2^(1/16) surge de uma divisão indevida do expoente por 16 em vez da sequência correta de multiplicações por 2 e raízes. B) 2^(5/16) ocorre por erro no cálculo dos expoentes intermediários, que não acompanham a multiplicação por 2 dentro da raiz. C) 2^(13/16) resulta de uma soma de frações mal feita, pois o expoente 1/2 precisa ser convertido em 4/8 antes de ser somado a 7/8 para ter o denominador correto.
💡 Dica: Calcule cada termo da sequência aplicando a função f iterativamente.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a raiz divide o expoente por um fator maior e, em vez de acompanhar a multiplicação por 2 dentro da raiz, reduz o expoente a 1/16 de forma arbitrária.
O aluno calcula corretamente o padrão geral, mas erra a conta de um expoente intermediário ao dividir a fração por 2, chegando ao numerador 5 em vez de 15.
O aluno soma as frações do expoente sem igualar os denominadores, obtendo 13/16 em vez de 15/16 ao tratar 1/2 e 7/8 de forma incorreta.
CORRETA. A alternativa D corresponde ao valor correto de a₄, obtido ao aplicar a função f(x) = √(2x) recursivamente e expressar o resultado em potências de 2.
Raio-X da questão
função composta e sequência
avaliacao
função raiz quadrada · sequência recursiva
Estude funções e cálculo de termos de sequências definidas por recorrência.
Confundir a aplicação da função f na definição da sequência, calculando termos incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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