Seja (an) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e a razão r, ambos números reais. É possível…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja (an) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e a razão r, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência (bn), em que o primeiro termo é um número real b1 e com a seguinte lei de formação bn+1 = bn + an, sendo n > 0 um número natural. Por exemplo, se b1 = 0 e (an) = (1,3,5,7,9,11,...), tem-se (bn) = (0,1,4,9,16,25,...). Com base em tais informações, os valores de a1 e r foram escolhidos de forma que (bn) também seja uma progressão aritmética de razão r’. Nessas condições, é correto afirmar: [FUVEST 2025 - Questão 70] FUVEST - 2025
- A) r' = a1
- B) r' = 2a1
- C) r' = r
- D) r' = 2r
- E) r' = b1 - a1
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Escreva o termo geral da PA (an): an = a1 + (n - 1)r. Passo 2: Pela lei de formação, bn+1 - bn = an. Passo 3: Para que (bn) seja uma PA de razão r', a diferença bn+1 - bn deve ser sempre igual a r' para todo n natural. Passo 4: Como bn+1 - bn = an, isso exige que an seja constante e igual a r' para todo n. Passo 5: Uma PA (an) é constante somente quando sua razão é zero, então r = 0. Com r = 0, todos os termos de (an) valem a1, logo an = a1 para todo n e, portanto, r' = a1. Passo 6: Verificação: com r = 0 e an = a1, temos bn = b1 + (n - 1)a1, que é uma PA de razão a1. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é A, r' = a1, e coincide com o gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas: B exigiria r' = 2a1, o que não decorre da lei de formação; C supõe que a razão de (bn) seria igual à de (an), mas as diferenças de (bn) são os próprios termos de (an); D também não decorre, pois não há fator 2 na relação entre as diferenças; E confunde b1 com a razão, mas b1 não participa da diferença bn+1 - bn, que depende apenas de (an).
💡 Dica: Analise a definição das progressões e a relação entre os termos para determinar a condição para (bn) ser uma PA.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A razão da nova sequência é igual ao primeiro termo da sequência original.
Acredita que a razão de (bn) é o dobro do primeiro termo da PA, possivelmente por somar an com an novamente ou por confundir a soma de termos de uma PA com a diferença entre termos consecutivos.
Por que engana: Confundir a razão da nova sequência com a razão da sequência original, aplicando a mesma razão r ao invés de calcular corretamente r'.
Supõe que a razão da sequência acumulada (bn) deve ser a mesma razão r da PA (an), transferindo a razão de uma sequência para outra sem analisar a lei de formação bn+1 - bn = an.
Imagina que a razão de (bn) é o dobro de r, talvez por confundir a diferença bn+1 - bn com a soma an + an+1 ou por aplicar uma regra de dobramento sem justificativa.
Interpreta b1 - a1 como a razão de (bn), misturando o valor inicial de (bn) com o primeiro termo de (an) e ignorando que a diferença bn+1 - bn depende só dos termos de (an).
Raio-X da questão
progressão aritmética, sequência, razão
avaliacao
progressão aritmética · sequência numérica
Revisar definição e propriedades de progressão aritmética e soma de termos.
Confundir a razão da nova sequência com a razão da sequência original, aplicando a mesma razão r ao invés de calcular corretamente r'.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 estejam em…
- Se (a1, a2, a3, a4, . . .) é uma progressão aritmética cuja razão é igual a r e se para cada n tomarmos bn = (an+1)² -…
- — João, por que colocamos 4 cadeiras na primeira fila e depois sempre acrescentamos 3 cadeiras na fila seguinte? —…
- Dadas as sequências a? = n² + 4n + 4, b? = 2n², c? = a??1 - a? e d? = b??1/b?, definidas para valores inteiros positivos…
- — Você reparou na sequência de números que aparece no quadro, Tereza? — perguntou João enquanto anotava os termos. No…
- Folhas coloridas alinham-se no canteiro de uma praça, formando fileiras de lírios que florescem de acordo com um padrão…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog