A circunferência dada pela equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A circunferência dada pela equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale [FUVEST 2008 - Questão 39] FUVEST - 2008
- A) p - 2
- B) p + 2
- C) p + 4
- D) p + 6
- E) p + 8
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Reescreva a equação completando quadrados: (x-2)^2 + (y-2)^2 = 4. Assim, a circunferência tem centro C(2, 2) e raio 2. Como p representa o número pi, a área do círculo é 4p. Passo 2: Tangente ao eixo x, o ponto de tangência é A(2, 0); tangente ao eixo y, o ponto é B(0, 2). O segmento AB está sobre a reta x + y = 2 e é uma corda da circunferência. Passo 3: O segmento MN é paralelo a AB e contém o centro C, então MN está sobre a reta x + y = 4, que é um diâmetro da circunferência, pois passa pelo centro. Passo 4: A reta MN divide o círculo em duas metades de área 2p cada. A metade que contém o ponto A e o ponto B é a que contém o arco de menor medida entre A e B. Passo 5: O arco entre A e B corresponde a um ângulo central de 90 graus, pois os vetores CA e CB são perpendiculares. O segmento circular determinado pela corda AB tem área igual ao setor de 90 graus menos o triângulo CAB: p - 2. Passo 6: A região hachurada é a metade do círculo do lado de MN que contém a origem, retirando o segmento circular de AB: 2p - (p - 2) = p + 2. Passo 7: Por isso a alternativa B está correta. A alternativa A (p - 2) é a área do segmento circular isolado, sem considerar a metade do círculo. A alternativa C (p + 4) soma 4 em vez de 2, trocando a área do triângulo pela do quadrado. A alternativa D (p + 6) acrescenta uma parcela extra que não existe na região. A alternativa E (p + 8) usa um valor de área que supera a metade do círculo.
💡 Dica: Use a equação da circunferência para encontrar o centro e o raio, e relacione com os pontos de tangência.
Alternativa por alternativa
Identificou a região apenas com o segmento circular menor determinado pela corda AB, esquecendo a metade do círculo que a região hachurada contém.
Por que engana: Confundir a área da região hachurada com a área total da circunferência, sem considerar a tangência aos eixos.
Incorreta. A área calculada não corresponde à região hachurada.
Calculou corretamente a parte curva, mas errou a área do triângulo CAB ou da parte poligonal, usando 4 no lugar de 2 e obtendo uma soma maior.
Acrescentou à metade do círculo uma parcela poligonal extra, supondo que a região inclui um triângulo que na verdade está fora dela.
Usou o diâmetro 4 como se fosse o raio ao calcular a área do círculo, o que dobra a parte circular, e ainda somou uma área poligonal sem subtrair o segmento.
Raio-X da questão
circunferência, tangência, área
avaliacao
equação da circunferência · propriedades de tangência
Revisar propriedades da circunferência e cálculo de áreas relacionadas.
Confundir a área da região hachurada com a área total da circunferência, sem considerar a tangência aos eixos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x – 2)² + (y – 2)² = 4 e sejam P e Q os pontos nos…
- No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em…
- O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa…
- O plano cartesiano abaixo contém duas circunferências tangentes, F e B. Considere que a equação de F é x^2 + y^2 = 4 e…
- Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD¯ é tangente em X ao arco de…
- Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog