Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x – 2)² + (y – 2)² = 4 e sejam P e Q os…

Questão

Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x – 2)² + (y – 2)² = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ , e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a [FUVEST 2009 - Questão 77] FUVEST - 2009

1. A) 2v2 – 2
2. B) 2v2 – 1
3. C) 2v2
4. D) 2v2 + 2
5. E) 2v2 + 4

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. A circunferência tem centro (2,2) e raio 2. Ela tangencia o eixo Ox em P=(2,0) e o eixo Oy em Q=(0,2). Passo 2: A base PQ mede raiz de ((2-0)^2+(0-2)^2) = raiz de 8 = 2 raiz de 2. Passo 3: Em um triângulo isósceles de base PQ, o vértice R está na mediatriz de PQ. A mediatriz de PQ passa pelo ponto médio (1,1) e pelo centro (2,2), e é a reta y=x. Passo 4: Os pontos em que y=x corta a circunferência são (2+raiz de 2, 2+raiz de 2) e (2-raiz de 2, 2-raiz de 2). Passo 5: O perímetro é PQ + 2 lados iguais. Como a metade da base é raiz de 2, cada lado igual é raiz de (h^2 + 2), em que h é a altura até PQ. Quanto maior h, maior o perímetro. Logo R=(2+raiz de 2, 2+raiz de 2), que está do lado oposto ao centro em relação a PQ, com altura h = raiz de 2 + 2. Passo 6: Área = (1/2) x base x altura = (1/2) x 2 raiz de 2 x (2 + raiz de 2) = raiz de 2 x (2 + raiz de 2) = 2 raiz de 2 + 2. Portanto a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito. Por que as outras estão erradas: A usa o vértice mais próximo de PQ, que minimiza o perímetro em vez de maximizá-lo; B tem erro no cálculo do produto da base pela altura; C usa altura igual a raiz de 2, que não corresponde a nenhum vértice que maximize o perímetro; E usa altura excessiva, igual a 2 + 2 raiz de 2, que não está sobre a circunferência.

💡 Dica: Use as propriedades da circunferência e do triângulo isósceles para determinar os pontos e calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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