Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes…

Questão

Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos Q e R, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo que o perímetro da região hachurada mede (2p + 8) cm, assinale a alternativa que corresponde à medida do raio da circunferência em cm. (UFPR 2024)

1. A) 2
2. B) 3
3. C) 4
4. D) 5

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Como as retas são tangentes à circunferência nos pontos Q e R, os raios OQ e OR são perpendiculares às tangentes. Logo, o quadrilátero PQOR tem três ângulos retos (em Q, em R e em P, pois as retas se cortam formando ângulo reto), e como OQ = OR = r, ele é um quadrado de lado r. Passo 2: Os segmentos tangentes a partir de um mesmo ponto externo são iguais, então PQ = PR = r. Passo 3: A região hachurada, na figura, é limitada pelos dois segmentos tangentes PQ e PR e pelo arco menor QR. Seu perímetro é a soma PQ + PR + comprimento do arco QR. Passo 4: O arco QR corresponde a um ângulo central de 90 graus, isto é, a um quarto da circunferência. Seu comprimento é (1/4) de 2 pi r, ou seja, pi r / 2. Passo 5: Então o perímetro vale r + r + pi r/2 = 2r + pi r/2. Passo 6: Igualando ao dado do enunciado, 2r + pi r/2 = 2p + 8. Com p = pi, temos 2r + pi r/2 = 2 pi + 8. Para r = 4, o primeiro membro é 8 + 2 pi, que coincide com o segundo membro. Portanto, o raio mede 4 cm, alternativa C. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A (r = 2) produziria perímetro 4 + pi, que não corresponde a 2 pi + 8; B (r = 3) produziria 6 + 3 pi/2; D (r = 5) produziria 10 + 5 pi/2, ambos incompatíveis com a expressão dada.

💡 Dica: Use propriedades de retas tangentes e ângulos retos para relacionar perímetro e raio.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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