MatemáticaUECEBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

No sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação x² + y² - 6x - 8y = 0 representa uma circunferência. Se…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação x² + y² - 6x - 8y = 0 representa uma circunferência. Se O é o centro desta circunferência e se a equação da reta que passa pelo ponto O e pelo ponto P(2, 7) tem a forma ax + by - 13 = 0, então, o produto a.b é igual a (UECE 2018)

A) 6.
B) 2.
C) 5.
D) 3.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Completar os quadrados da equação da circunferência. Agrupando os termos, x² - 6x + y² - 8y = 0 fica (x - 3)² - 9 + (y - 4)² - 16 = 0, ou seja, (x - 3)² + (y - 4)² = 25. Logo, o centro é O(3, 4) e o raio é 5.
Encontrar a reta que passa por O(3, 4) e P(2, 7). O coeficiente angular é m = (7 - 4) / (2 - 3) = 3 / (-1) = -3.
Escrever a equação da reta na forma ponto-inclinação: y - 4 = -3(x - 3), que resulta em y - 4 = -3x + 9, ou seja, y = -3x + 13. Reescrevendo na forma pedida: 3x + y - 13 = 0.
Comparar com a forma ax + by - 13 = 0. Temos a = 3 e b = 1, portanto a.b = 3.
Verificação. Para O(3, 4): 3·3 + 4 - 13 = 0. Para P(2, 7): 3·2 + 7 - 13 = 0. Ambos os pontos satisfazem a equação.
Conclusão. A alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A (6) está errada, pois não há valores de a e b consistentes com a reta obtida. A alternativa B (2) está errada, pois o produto a.b obtido é 3, não 2. A alternativa C (5) está errada, pois o raio da circunferência é 5, mas esse valor não corresponde ao produto a.b.

💡 Dica: Determine o centro da circunferência completando o quadrado e use-o para encontrar a equação da reta.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente errou ao determinar os coeficientes da reta, por exemplo ao escrever a equação com coeficientes de a e b que não correspondem à reta pelo centro e por P, como se a=6 e b=1 ou a=2 e b=3 fossem os valores certos.

B Erradaerro: Interpretação

O aluno provavelmente tomou a coordenada x do ponto P (valor 2) como produto, ou inverteu a inclinação da reta, obtendo a=1 e b=2 em vez de a=3 e b=1.

C Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente confundiu o raio da circunferência (5) com um dos coeficientes da reta, ou usou o raio no lugar do valor de a ou b na equação da reta.

D Correta

CORRETA. O produto a.b é 3, obtido ao encontrar o centro da circunferência por completar o quadrado, determinar a equação da reta que passa por O e P e calcular o produto dos coeficientes a e b.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

circunferência centro reta produto coeficientes

📌 Objetivo

diagnostico

🧱 Pré-requisitos

equação da circunferência · equação da reta

📚 Reveja

Estude como completar o quadrado para encontrar o centro da circunferência e equação da reta.

⚠️ Erro mais comum

Confundir o centro da circunferência com o ponto P ou erro ao completar o quadrado para encontrar o centro.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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