Em um plano, duas circunferências têm seus centros nos pontos P e Q e as medidas de seus raios são ambas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um plano, duas circunferências têm seus centros nos pontos P e Q e as medidas de seus raios são ambas iguais a 3 m. Se essas circunferências cortam-se nos pontos R e S e se a distância entre P e Q é igual à distância entre R e S, então, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos P, Q, R e S, em m², é (UECE 2018)
- A) 18.
- B) 9 √2.
- C) 9 √3.
- D) 9.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como P e Q são centros e R e S são pontos de interseção das circunferências, PR = PS = QR = QS = 3 m, pois todos são raios. Passo 2: O quadrilátero PRQS tem os quatro lados iguais a 3 m, logo é um losango. Passo 3: O enunciado diz que as diagonais PQ e RS são iguais. Um losango com diagonais iguais é um quadrado. Passo 4: Num quadrado de lado 3, a diagonal é 3 raiz de 2, que é PQ = RS = 3 raiz de 2. Como o quadrado tem diagonais iguais a d, a área é d^2/2 = (3 raiz de 2)^2/2 = 18/2 = 9 m². Também vale a conta com o losango: área = lado^2 · sen(ângulo) = 9 · sen 90° = 9. Passo 5: A alternativa A (18) está errada porque é o produto das diagonais sem dividir por 2. A alternativa B (9 raiz de 2) está errada porque não corresponde à área de um quadrado de lado 3. A alternativa C (9 raiz de 3) está errada porque supõe um ângulo de 60° no losango, o que não é garantido pelos dados. Passo 6: O gabarito oficial D está correto, pois a área vale 9 m².
💡 Dica: Use propriedades de circunferências e geometria para calcular a área do quadrilátero.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula a área como produto das diagonais (3 raiz de 2 vezes 3 raiz de 2 = 18) e esquece de dividir por 2, que é a fórmula correta para losangos e quadriláteros com diagonais perpendiculares.
O aluno multiplica a diagonal 3 raiz de 2 pelo raio 3, usando uma fórmula de área sem base geométrica, ou confunde a área com um produto de comprimento de diagonal por lado.
O aluno supõe que o losango tem ângulo de 60° e usa área = 9 · sen 60° = 9 raiz de 3 / 2, mas esquece o fator 1/2 e fica com 9 raiz de 3. Ele não percebe que o losango é na verdade um quadrado, com ângulo de 90°.
CORRETA. A área do quadrilátero formado é 9 m², pois o quadrilátero é um losango cujas diagonais medem 3 m e 6 m, e a área é dada por (d1 × d2)/2 = (3 × 6)/2 = 9.
Raio-X da questão
geometria de circunferências e área
avaliacao
propriedades de circunferências · calculo de area de figuras planas
Estude propriedades de circunferências, distância entre pontos e cálculo de área de quadriláteros.
Confundir a relação entre os pontos de interseção e os centros, ou calcular incorretamente a área do quadrilátero.
pensamento_critico
abstrato
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