Em um plano, considere duas circunferências concêntricas C1 e C2 cujas medidas dos raios, em cm, são…

Questão

Em um plano, considere duas circunferências concêntricas C1 e C2 cujas medidas dos raios, em cm, são respectivamente r1 e r2 com r1 > r2. Se a corda XY da circunferência C1 tangencia a circunferência C2 e se a medida do segmento XY é 16 cm, então podemos afirmar corretamente que a medida, em cm², da área da região do plano interior à circunferência C1 e exterior à circunferência C2 é (UECE 2023)

1. A) 64 π.
2. B) 40 π.
3. C) 56 π.
4. D) 49 π.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Como a corda XY da circunferência C1 tangencia a circunferência C2, o ponto de tangência é o ponto médio M de XY, pois o raio de C2 até o ponto de tangência é perpendicular à corda e o centro comum O divide a corda ao meio. Logo, XM = MY = 16/2 = 8 cm. Passo 2: O triângulo OMX é retângulo em M, com hipotenusa OX = r1 (raio de C1), cateto OM = r2 (raio de C2, pois M pertence a C2) e cateto XM = 8. Passo 3: Pelo teorema de Pitágoras, r1^2 = r2^2 + 8^2, ou seja, r1^2 - r2^2 = 64. Passo 4: A área da região entre as circunferências (coroa circular) é π·r1^2 - π·r2^2 = π(r1^2 - r2^2) = 64π cm². Passo 5: Portanto a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a B (40π) não corresponde a nenhuma diferença de quadrados obtida corretamente da semicorda 8; a C (56π) viria de um cálculo de 64 - 8, que não é a operação correta; a D (49π) corresponderia a usar 7 como semicorda, o que não condiz com a metade de 16.

💡 Dica: Use propriedades de circunferências concêntricas e tangência para relacionar os raios e calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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