Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C1 e C2, pertencentes ao mesmo…

Questão

Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C1 e C2, pertencentes ao mesmo plano a. O segmento C1C2 mede 6 cm. A área da região limitada pelos círculos, em cm², possui valor aproximado de: (UERJ 2016)

1. A) 108
2. B) 162
3. C) 182
4. D) 216

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Na figura, cada centro pertence ao outro círculo, de modo que o segmento C1C2 é igual ao raio. Logo, r = 6 cm. Passo 2: A área de um círculo é pi vezes r ao quadrado, ou seja, 36 pi cm². Como os círculos são congruentes, a soma das duas áreas é 72 pi cm². Passo 3: A região limitada pelos círculos é a união dos dois discos, então é preciso descontar uma única vez a parte comum (a interseção, a região em forma de lente). Passo 4: Para calcular a interseção, use a distância d = 6 e o raio r = 6. O ângulo central vale arccos(d/2r) = arccos(1/2) = pi/3. A área de cada segmento circular é r² vezes (θ - sen θ) com θ = 2pi/3, e a área da lente é 2 vezes esse segmento. Assim, a interseção é 24 pi - 18 raiz de 3 cm², aproximadamente 44,2 cm². Passo 5: Área da região = 72 pi - (24 pi - 18 raiz de 3) = 48 pi + 18 raiz de 3. Com pi ≈ 3,14 e raiz de 3 ≈ 1,73, obtemos 150,7 + 31,2 ≈ 182 cm². Passo 6: Por isso a alternativa C é a correta. A alternativa A (108) está errada porque corresponde a apenas 36 pi com pi aproximado por 3, ou seja, a área de um único círculo. A alternativa B (162) está errada porque resulta de um cálculo da interseção ou da união feito de modo incorreto, com aproximações indevidas. A alternativa D (216) está errada porque soma as áreas dos dois círculos (2 x 36 x 3) sem descontar a região comum.

💡 Dica: Calcule a área de interseção entre dois círculos congruentes usando fórmulas geométricas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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