Na circunferência de centro O, as cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se AB = 14 cm, CD = 10 cm e a distância…

Questão

Na circunferência de centro O, as cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se AB = 14 cm, CD = 10 cm e a distância entre as retas que contêm AB e CD é 6 cm. Se M e N são os pontos médios de AB e CD, respectivamente: (a) mostre que OM ? AB e ON ? CD e determine o raio r da circunferência; (b) calcule, em graus, as medidas dos ângulos centrais ?AOB e ?COD e a medida de um ângulo inscrito que intercepta o arco CD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Do centro à corda é perpendicular e passa pelo ponto médio ? OM?AB e ON?CD. Seja OM=a e ON=d; como as cordas ficam em lados opostos do centro, a+d=6. Usando comprimento da corda: 14=2v(r^2-a^2) ? r^2-a^2=49; 10=2v(r^2-d^2) ? r^2-d^2=25. Subtraindo: d^2-a^2=24 = (d-a)(d+a) = (d-a)·6 ? d-a=4 ? d=5, a=1. Então r^2=a^2+49=1+49=50 ? r=5v2 cm. Relação corda–ângulo central: corda = 2r·sin(?/2). Para CD: 10=2·5v2·sin(?_CD/2) ? sin(?_CD/2)=1/v2 ? ?_CD=90°; logo qualquer ângulo inscrito que intercepta o arco CD mede 45°. Para AB: sin(?_AB/2)=7/(5v2)=(7v2)/10 ? ?_AB=2·arcsin((7v2)/10) ˜163.7°.

Explicação

A solução utiliza a propriedade de que a distância do centro da circunferência até as cordas é perpendicular a elas, permitindo estabelecer um sistema de equações que relaciona as alturas e os comprimentos das cordas. A partir dessas relações, é possível determinar o raio da circunferência e, em seguida, aplicar a fórmula que relaciona o comprimento da corda com o ângulo central, resultando nas medidas dos ângulos solicitados. Além disso, a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos é utilizada para encontrar a medida do ângulo inscrito que intercepta o arco CD.

Raio-X da questão

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