Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P, conforme figura ao lado. A reta r…

Questão

Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P, conforme figura ao lado. A reta r tangencia as duas circunferências nos pontos A e B. Assinale a alternativa que corresponde à distância, em cm, entre os pontos A e B. (UFPR 2025)

1. A) √3
2. B) √5
3. C) 2√2
4. D) 2√3

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Como as duas circunferências são tangentes entre si no ponto P, e a reta r toca cada uma delas em um ponto distinto (A e B), a reta r é uma tangente externa comum. Por isso, as circunferências são tangentes externamente e a distância entre os centros é a soma dos raios: 1 + 3 = 4 cm. Passo 2: Chame de O1 o centro da circunferência menor (raio 1) e de O2 o centro da maior (raio 3). Os raios O1A e O2B são perpendiculares à reta r, logo são paralelos entre si. Passo 3: Trace por O1 um segmento paralelo à reta r até encontrar o raio O2B no ponto C. Assim O1A e CB têm o mesmo comprimento, e como O1A = 1 e O2B = 3, temos CB = 1, de modo que o segmento O2C = 3 - 1 = 2 cm. O segmento O1C tem o mesmo comprimento que AB. Passo 4: No triângulo O1CO2, retângulo em C, aplica-se o teorema de Pitágoras: AB^2 + 2^2 = 4^2, logo AB^2 = 16 - 4 = 12 e AB = raiz de 12 = 2 raiz de 3. Portanto, a alternativa correta é a D. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (raiz de 3) decorre de tratar as circunferências como internamente tangentes, com distância entre centros igual a 2; a alternativa B (raiz de 5) surge de usar 3 como distância entre centros e 2 como cateto, o que não corresponde à configuração; a alternativa C (2 raiz de 2) é obtida ao calcular raiz de (3^2 - 1^2), ignorando a distância entre os centros.

💡 Dica: Use propriedades de tangência e geometria analítica para calcular a distância.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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