Num círculo de raio R = 10 cm, as cordas CD e AB têm comprimentos CD = 6 cm e AB = 12 cm. Usando a fórmula da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num círculo de raio R = 10 cm, as cordas CD e AB têm comprimentos CD = 6 cm e AB = 12 cm. Usando a fórmula da corda c = 2R·sin(?/2), calcule, em graus, as medidas dos ângulos centrais ?_CD e ?_AB (arcos menores) correspondentes a essas cordas. Apresente valores com duas casas decimais.
- A) ?_CD ˜ 34.92°; ?_AB ˜ 73.74°
- B) ?_CD ˜ 20.00°; ?_AB ˜ 40.00°
- C) ?_CD ˜ 50.00°; ?_AB ˜ 95.00°
- D) ?_CD ˜ 0.00°; ?_AB ˜ 90.00°
- E) ?_CD ˜ 10.00°; ?_AB ˜ 30.00°
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Use a fórmula da corda c = 2R·sen(θ/2), com R = 10 cm. Isolando o seno: sen(θ/2) = c / (2R) = c / 20.
- Para a corda CD (c = 6 cm), temos sen(θ_CD/2) = 6/20 = 0,3. Logo θ_CD/2 = arcsen(0,3) ≈ 17,46°, e θ_CD = 2 × 17,46° ≈ 34,92°.
- Para a corda AB (c = 12 cm), temos sen(θ_AB/2) = 12/20 = 0,6. Logo θ_AB/2 = arcsen(0,6) ≈ 36,87°, e θ_AB = 2 × 36,87° ≈ 73,74°.
- Como os dois valores são menores que 180°, eles correspondem aos arcos menores, como pede o enunciado.
- Comparando com o gabarito oficial, a alternativa A (34,92° e 73,74°) coincide exatamente com o resultado obtido, então o gabarito está correto.
- Por que as outras estão erradas: na B, os valores 20° e 40° não satisfazem sen(θ/2) = 0,3 nem 0,6; na C, 50° e 95° dão senos de cerca de 0,38 e 0,79, incompatíveis com as cordas; na D, 0° daria corda nula e 90° daria corda igual a 14,14 cm, o que não bate com 6 cm nem 12 cm; na E, 10° e 30° dão cordas de cerca de 1,74 cm e 5,18 cm, diferentes das dadas.
💡 Dica: Isole o seno na fórmula da corda e aplique a função arco-seno, convertendo o resultado para graus.
Alternativa por alternativa
Para CD: sin(?_CD/2)=6/(2·10)=0.3 ? ?_CD/2=arcsin(0.3)˜17.4576° ? ?_CD˜34.9152°˜34.92°. Para AB: sin(?_AB/2)=12/20=0.6 ? ?_AB/2=arcsin(0.6)˜36.8699° ? ?_AB˜73.7398°˜73.74°.
O aluno provavelmente supôs que o ângulo central é proporcional ao comprimento da corda, ou simplesmente dobrou o valor da corda e tomou o resultado como ângulo, sem aplicar a função seno.
Por que engana: O aluno pode dividir o comprimento da corda por 2R, mas esquecer de aplicar o arco-seno ou confundir o ângulo obtido com metade do ângulo central.
O aluno provavelmente aplicou a fórmula sem dividir corretamente por 2R ou usou seno de um ângulo inteiro em vez do meio ângulo, chegando a valores grandes que não correspondem às cordas dadas.
O aluno provavelmente acreditou que uma corda menor significa ângulo central quase nulo e que a corda AB corresponderia a um ângulo reto, guiando-se pela intuição geométrica em vez do cálculo com o seno.
O aluno provavelmente fez uma regra de três direta, supondo que ângulo e comprimento de corda crescem na mesma proporção, o que ignora a relação não linear dada pelo seno.
Raio-X da questão
Relação entre corda e ângulo central
avaliacao
Razões trigonométricas no triângulo · Função arco-seno e graus
Revise a fórmula da corda, a função arco-seno e a conversão de radianos para graus.
O aluno pode dividir o comprimento da corda por 2R, mas esquecer de aplicar o arco-seno ou confundir o ângulo obtido com metade do ângulo central.
tomada_decisao
abstrato
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