Ao dividirmos o polinômio P(x) = x6 - 1 por x + 2, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Ao dividirmos o polinômio P(x) = x6 - 1 por x + 2, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de Q(x) por x - 1 é igual a (UECE 2023)
- A) −31.
- B) −61.
- C) −41.
- D) −21.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Divisão de P(x) = x^6 - 1 por x + 2. Pelo Teorema do Resto, o resto é R = P(-2) = (-2)^6 - 1 = 64 - 1 = 63. Passo 2: Como P(x) = (x + 2)Q(x) + R, temos x^6 - 1 = (x + 2)Q(x) + 63, logo (x + 2)Q(x) = x^6 - 64. Passo 3: Queremos o resto da divisão de Q(x) por x - 1, que é Q(1). Pelo Teorema do Resto, esse valor pode ser obtido pela igualdade (1 + 2)Q(1) = 1^6 - 64, ou seja, 3Q(1) = -63. Passo 4: Logo Q(1) = -63/3 = -21. Passo 5: Conferindo, Q(x) = (x^6 - 64)/(x + 2) é um polinômio exato, pois x^6 - 64 se anula em x = -2, e o valor em x = 1 confirma Q(1) = -21. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (-31), a B (-61) e a C (-41) não resultam do cálculo correto de Q(1); o gabarito oficial D (-21) está correto e coincide com o resultado obtido.
💡 Dica: Use o teorema do resto para encontrar os valores dos restos.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou no cálculo de Q(1), por exemplo ao dividir por um valor errado ou ao aplicar mal a relação (x + 2)Q(x) = x^6 - 64 na substituição de x = 1.
O aluno pode ter esquecido de descontar corretamente o resto (63) ao obter Q(x), ou ter errado o sinal ou a subtração em 1 - 64, chegando a um valor incorreto para Q(1).
O aluno provavelmente usou o resto ou o termo constante de forma errada na expressão de Q(x) e, ao avaliar em x = 1, obteve um valor que não corresponde a -63/3.
CORRETA. O valor −21 é obtido aplicando corretamente o Teorema do Resto na divisão de P(x) por x + 2 para encontrar o resto, depois determinando o quociente e avaliando seu valor em x = 1.
Raio-X da questão
divisão de polinômios e restos
diagnostico
divisão de polinômios · teorema do resto
Estude o teorema do resto e divisão de polinômios.
Confundir o cálculo do resto com o quociente ou aplicar incorretamente o teorema do resto.
pensamento_critico
abstrato
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