As únicas raízes reais do polinômio p(x) dado pelo determinante abaixo são -2 e -1. p(x) = det \left(…

Questão

As únicas raízes reais do polinômio p(x) dado pelo determinante abaixo são -2 e -1. p(x) = det \left( \begin{array}{ccc} q(x) & x+2 & x^2 + 2x \\ x^2 + x & 0 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 \end{array} \right) Sabendo-se que o polinômio q(x) = ax^2 + bx + c (com a, b e c constantes) tem as mesmas raízes reais de p(x), é correto afirmar que: (UFPR 2023)

1. A) b^2 - 4ac < 0 e a > 3/4.
2. B) b^2 - 4ac < 0 e a < 3/4.
3. C) b^2 - 4ac > 0 e a < 3/4.
4. D) b^2 - 4ac > 0 e a > 3/4.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Calculo o determinante pela primeira linha: p(x) = -q(x) - (x+2)(x^2 - 1) + (x^2+2x)(x^2+x), que resulta em p(x) = x^4 + 2x^3 + x + 2 - q(x). Passo 2: Como -2 e -1 são raízes de p, temos p(-1) = -q(-1) = 0 e p(-2) = -q(-2) = 0, logo q(-1) = 0 e q(-2) = 0. Como q é quadrático e não nulo, q(x) = a(x+1)(x+2) = a(x^2 + 3x + 2), com a diferente de zero. Passo 3: Substituindo em p, obtemos p(x) = x^4 + 2x^3 - a x^2 + (1 - 3a)x + (2 - 2a) = (x^2 + 3x + 2)(x^2 - x + 1 - a). Passo 4: Para que -2 e -1 sejam as únicas raízes reais de p, o fator x^2 - x + (1 - a) não pode ter raízes reais. Seu discriminante é 1 - 4(1 - a) = 4a - 3, que deve ser menor que zero, então a < 3/4. Passo 5: Para q(x) = a x^2 + 3a x + 2a, temos b^2 - 4ac = (3a)^2 - 4a(2a) = a^2 > 0, pois a é diferente de zero. Logo b^2 - 4ac > 0 e a < 3/4, que é a alternativa C. Passo 6: A alternativa A e a D exigem a > 3/4, o que torna o discriminante do segundo fator não negativo e cria raízes reais extras em p. A alternativa B exige b^2 - 4ac < 0, o que é impossível, pois q tem duas raízes reais distintas. O gabarito C está confirmado.

💡 Dica: Calcule o determinante e encontre as condições para q(x) ter as mesmas raízes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² - b funções, com a e b números reais. Sabendo que r = 1/2 é a única raiz da função…
• Considere os polinômios p(x) = | x 1 0 | | 2 x -1 | e q(x) = | 1 1 3 | | m x x | Para que p(x) seja divisível por q(x)…
• O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx , em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 …
• O polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d é tal que as raízes da equação P(x) = 0 são os números -1, 1 e 2. Se P(0) = 24…
• Considere os polinômios m(x) = x² - 3x + 2, n(x) = x² - 4x + 3 e q(x) = x³ - x² - 4x + 4, que têm como fator comum o…
• Sabendo-se que x = 2 é um zero do polinômio p(x) = 9x³ - 21x² + 4x + 4, é correto afirmar que a soma das outras duas…