A soma dos valores reais de a para os quais o polinômio P(x) = x³ + (1 - a)x² + (1 + a)x - 1 é divisível por x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A soma dos valores reais de a para os quais o polinômio P(x) = x³ + (1 - a)x² + (1 + a)x - 1 é divisível por x - a é (UECE 2013)
- A) -1/2
- B) 1/4
- C) -1
- D) 1/2
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de D'Alembert, P(x) é divisível por x - a se, e somente se, P(a) = 0. Então devemos substituir x por a no polinômio.
- Calculando P(a) = a^3 + (1 - a)a^2 + (1 + a)a - 1 = a^3 + a^2 - a^3 + a + a^2 - 1 = 2a^2 + a - 1.
- Resolvemos 2a^2 + a - 1 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é 1 + 8 = 9, e as raízes são a = (-1 + 3)/4 = 1/2 e a = (-1 - 3)/4 = -1.
- A questão pede a soma dos valores reais de a, então somamos 1/2 + (-1) = -1/2. Também é possível usar Relações de Girard: a soma das raízes de 2a^2 + a - 1 é -1/2.
- Comparando com as alternativas, a resposta é -1/2, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B (1/4) não é a soma de nenhuma das raízes nem resulta do cálculo correto; a alternativa C (-1) considera apenas uma das raízes; a alternativa D (1/2) considera apenas a outra raiz, ou inverte o sinal da soma.
💡 Dica: Use o teorema do resto para encontrar os valores de a.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Substituindo x por a no polinômio e igualando a zero, obtém-se uma equação quadrática em a cujas raízes somam -1/2, que é a soma dos valores reais de a procurados.
O aluno provavelmente encontrou a raiz 1/2 e a dividiu por 2, ou errou o denominador da fórmula de Bhaskara, chegando a um valor que não corresponde a nenhuma soma das raízes.
O aluno resolveu corretamente a equação 2a^2 + a - 1 = 0, mas considerou apenas a raiz a = -1 e ignorou a outra raiz, sem somar os valores como o enunciado pede.
O aluno provavelmente usou a relação de Girard com sinal trocado (b/a em vez de -b/a), obtendo +1/2, ou considerou apenas a raiz a = 1/2 e ignorou a outra.
Raio-X da questão
teorema do resto, divisibilidade polinomial
avaliacao
polinômios e raízes · equações algébricas
Estude o teorema do resto e divisibilidade de polinômios.
Confundir o valor de a com a raiz do polinômio ou aplicar incorretamente o teorema do resto.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- O polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d é tal que as raízes da equação P(x) = 0 são os números -1, 1 e 2. Se P(0) = 24…
- O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx , em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 …
- Considerando o polinômio P(x) = 4x³ + 8x² + x + 1, é correto afirmar que o valor da soma P(–1) + P(–1/3) é um número…
- Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² - b funções, com a e b números reais. Sabendo que r = 1/2 é a única raiz da função…
- Considere o polinômio P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ? + a_1 x + a_0, em que a_0, ?, a_{n-1} ? R. Sabe-se que as suas n…
- Se 3x² - 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³, para todo número real x, o valor de a + b é [FUVEST 2020 - Questão 20] FUVEST -…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog