MatemáticaUECEBNCC EM13MAT301Difícil⏱ longo

No plano cartesiano, a reta t, paralela x = v3 y tangencia a circunferência x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 no ponto…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No plano cartesiano, a reta t, paralela x = v3 y tangencia a circunferência x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 no ponto Z = (x y), y > 2. Para os pontos X = (2, 0) e Y = (0, 2) na circunferência, a medida do arco XYZ (que contém o ponto Y) é igual a (UECE 2019)

A) 4π/3.
B) 5π/3.
C) 5π/4.
D) 6π/5.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Complete os quadrados na circunferência: x^2 - 4x + y^2 - 4y + 4 = 0 equivale a (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4. Logo, o centro é C = (2, 2) e o raio é r = 2. Passo 2: A reta x = raiz de 3 y tem direção (raiz de 3, 1), que forma 30 graus com o eixo x. A reta t é paralela a ela, então tem a mesma direção. O raio que vai ao ponto de tangência é perpendicular a t, com direção (1, -raiz de 3) ou seu oposto. Passo 3: Como y > 2, o ponto de tangência fica acima do centro. Ele é Z = C + 2 (-1/2, raiz de 3/2) = (1, 2 + raiz de 3). Medido a partir do centro, Z está no ângulo de 120 graus. Passo 4: Em relação ao centro, X = (2, 0) fica no ângulo de 270 graus (ou -90 graus) e Y = (0, 2) fica no ângulo de 180 graus. Passo 5: O arco XYZ contém Y, então percorre o trecho de X (270 graus) passando por Y (180 graus) até Z (120 graus). Seu ângulo central é 270 - 120 = 150 graus, ou seja, 5pi/6 radianos. Passo 6: O comprimento do arco é r vezes o ângulo em radianos: 2 x 5pi/6 = 5pi/3. A alternativa correta é a B. Passo 7: A alternativa A (4pi/3) corresponde a um ângulo central de 120 graus, que não é o arco pedido. A alternativa C (5pi/4) corresponde a um ângulo central de 112,5 graus, que também não é o arco pedido. A alternativa D (6pi/5) corresponde a um ângulo central de 108 graus, que não é o arco pedido.

💡 Dica: Use equações da reta e da circunferência para encontrar o ponto de tangência e calcule a medida do arco.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Usa o ângulo de 120 graus da posição de Z como se fosse a medida do arco, sem considerar o trecho que vai de Z até X passando por Y.

B Correta

CORRETA. A alternativa corresponde à medida correta do arco XYZ, obtida ao calcular o ângulo central formado pelos pontos dados e o ponto de tangência, considerando a orientação e a condição y > 2.

C Erradaerro: Procedimental

Calcula o ângulo central do arco de forma errada, obtendo 112,5 graus, e não conta corretamente o trecho de X até Z passando por Y.

D Erradaerro: Conceitual

Não percebe que o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta, o que leva a uma posição errada de Z e a um ângulo central de 108 graus.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

geometria analítica, circunferência, reta tangente

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

equação da circunferência · equação da reta paralela

📚 Reveja

estude equações de circunferência, reta tangente e cálculo de arcos

⚠️ Erro mais comum

confundir ponto de tangência com interseção comum ou calcular arco incorretamente.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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