Seja XYZ um triângulo retângulo em Y cuja medida do cateto XY é igual a 6 cm. Se a perpendicular a XZ que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja XYZ um triângulo retângulo em Y cuja medida do cateto XY é igual a 6 cm. Se a perpendicular a XZ que contém o ponto médio M do cateto XY intercepta XZ no ponto P, e se a medida do segmento PM é igual a 1,5 cm, então, a medida, em cm, do segmento MZ é igual a (UECE 2021)
- A) √21.
- B) 2/3 √21.
- C) 2 √21.
- D) √21/2.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Coloque Y na origem, X em (0,6) e Z em (z,0), com z maior que 0, pois o ângulo em Y é reto e XY = 6. Passo 2: Como M é o ponto médio de XY, M = (0,3). Passo 3: A reta XZ passa por X(0,6) e Z(z,0), e sua equação é 6x + zy - 6z = 0. Passo 4: P é o pé da perpendicular de M sobre XZ, então PM é a distância de M até a reta XZ: PM = |3z - 6z| / raiz(36 + z^2) = 3z / raiz(36 + z^2). Passo 5: Igualando a PM = 1,5, temos 2z = raiz(36 + z^2), logo 4z^2 = 36 + z^2, z^2 = 12 e z = 2 raiz(3). Passo 6: Calcule MZ como a distância entre M(0,3) e Z(2 raiz(3), 0): MZ = raiz(z^2 + 9) = raiz(12 + 9) = raiz(21). Passo 7: Verificação: XZ = raiz(36 + 12) = 4 raiz(3) e PM = 6 raiz(3) / (4 raiz(3)) = 1,5, o que confirma os dados. Passo 8: Conclusão: MZ = raiz(21) cm, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (2/3 raiz(21)) não corresponde à distância calculada; C (2 raiz(21)) é o dobro do valor correto; D (raiz(21)/2) é a metade do valor correto.
💡 Dica: Use propriedades do triângulo retângulo e relações métricas para encontrar MZ.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A alternativa apresenta a medida correta do segmento MZ, obtida aplicando as propriedades do triângulo retângulo e as relações métricas envolvendo o ponto médio e a perpendicular ao lado XZ.
O aluno provavelmente aplica uma relação de proporção indevida entre MZ e PM ou MY, multiplicando o resultado por 2/3 sem justificativa geométrica.
O aluno costuma tomar MZ como o dobro da distância correta, por exemplo confundindo M com o ponto médio de XZ ou esquecendo de dividir corretamente ao isolar z.
O aluno toma MZ como metade da raiz de 21, possivelmente por confundir MZ com metade da hipotenusa ou por erro na raiz quadrada final do cálculo.
Raio-X da questão
triângulo retângulo, segmentos, perpendicular
diagnostico
propriedades triângulo retângulo · relações métricas segmentos
Estude propriedades de triângulos retângulos e segmentos perpendiculares.
Confundir pontos médios e propriedades da perpendicular, ou aplicar fórmulas incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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