O triângulo equilátero XYZ, cuja medida do lado é 4m, é dividido em dois triângulos pelo segmento de reta XP…

Questão

O triângulo equilátero XYZ, cuja medida do lado é 4m, é dividido em dois triângulos pelo segmento de reta XP, onde P é um ponto sobre o lado ZY cuja distância a Z é 1m. O produto dos números que representam respectivamente as medidas, em metros quadrados, das áreas dos triângulos XPZ e XPY é (UECE 2012)

1. A) 4,50.
2. B) 6,75.
3. C) 9,00.
4. D) 11,25.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. A altura do triângulo equilátero XYZ de lado 4 m é h = (lado × raiz de 3)/2 = 2 × raiz de 3 metros, pois a altura de um triângulo equilátero divide o lado ao meio e forma um triângulo retângulo com hipotenusa 4 e cateto 2. Passo 2: A área total do triângulo XYZ é (base × altura)/2 = (4 × 2 × raiz de 3)/2 = 4 × raiz de 3 metros quadrados. Passo 3: O ponto P está sobre ZY com ZP = 1 m, logo PY = 4 - 1 = 3 m. Passo 4: Os triângulos XPZ e XPY têm o mesmo vértice X e as bases ZP e PY sobre a mesma reta ZY, portanto têm a mesma altura h = 2 × raiz de 3. Assim, a área de cada um é proporcional à sua base. Passo 5: Área de XPZ = (ZP × h)/2 = (1 × 2 × raiz de 3)/2 = raiz de 3 m². Passo 6: Área de XPY = (PY × h)/2 = (3 × 2 × raiz de 3)/2 = 3 × raiz de 3 m². Passo 7: O produto pedido é raiz de 3 × 3 × raiz de 3 = 3 × 3 = 9. Logo a resposta é 9,00, alternativa C, em concordância com o gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (4,50) não corresponde a nenhum produto das áreas corretas, que são raiz de 3 e 3 raiz de 3; a alternativa B (6,75) surge de um cálculo de área que não respeita a altura comum 2 raiz de 3; a alternativa D (11,25) também resulta de um cálculo de área incorreto, pois a área de XPY não é 3/4 de 15 como se fosse uma área de triângulo equilátero.

💡 Dica: Calcule as áreas dos triângulos usando a base e altura ou fórmula de área para triângulos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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