Sejam r e s retas paralelas cuja distância entre elas é 3m e MN um segmento unitário sobre a reta s. Se X é um…

Questão

Sejam r e s retas paralelas cuja distância entre elas é 3m e MN um segmento unitário sobre a reta s. Se X é um ponto em r tal que a medida do segmento MX é 6m e se P é a projeção ortogonal de N sobre MX ou seu prolongamento, então a medida do segmento NP é (UECE 2012)

1. A) 1,20m.
2. B) 0,50m.
3. C) 1,00m.
4. D) 0,80m.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Coloque a figura em coordenadas para visualizar. Seja s a reta y = 0 e r a reta y = 3, pois a distância entre elas é 3 m. Tome M = (0, 0) e N = (1, 0), já que MN é unitário, ou seja, MN = 1 m. Passo 2: O ponto X está em r e MX = 6 m, então X = (x, 3) com x^2 + 3^2 = 6^2, logo x = raiz de 27 = 3 raiz de 3. Assim X = (3 raiz de 3, 3). Passo 3: A direção de MX tem comprimento 6, então o vetor unitário é u = (raiz de 3 / 2, 1/2). A projeção ortogonal de N sobre a reta MX é P = (N · u) u = (raiz de 3 / 2) u = (3/4, raiz de 3 / 4). Passo 4: NP é a distância entre N = (1, 0) e P: NP^2 = (1 - 3/4)^2 + (raiz de 3 / 4)^2 = 1/16 + 3/16 = 1/4, logo NP = 1/2 = 0,50 m. Passo 5: Há um atalho com áreas. O triângulo MNX tem base MN = 1 m sobre s e altura 3 m (distância entre as retas), logo a área é 3/2. Também a área vale (MX · NP)/2 = (6 · NP)/2. Igualando, 3 = 6 · NP, então NP = 0,5 m, o que confirma o resultado. Passo 6: O resultado não depende do lado em que X está escolhido, pois o mesmo cálculo vale para x negativo. Passo 7: Por que as outras estão erradas. A (1,20 m) não é obtida por nenhuma relação entre MN, a distância 3 m e MX = 6 m. C (1,00 m) iguala NP a MN, o que só ocorreria se MX fosse perpendicular a MN, o que não é o caso. D (0,80 m) não satisfaz a relação NP = (MN · 3)/MX, que é a fórmula correta. Conclusão: a alternativa correta é B, 0,50 m, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Use propriedades de projeção ortogonal e relações métricas entre segmentos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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