No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção dos gráficos das funções reais de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção dos gráficos das funções reais de variável real f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x) são, para cada número inteiro k, os pontos P(x_k, y_k). Então, os possíveis valores para y_k são (UECE 2021)
- A) √2/2 e -√2/2.
- B) √2/3 e -√2/3.
- C) √3/2 e -√3/2.
- D) √3/3 e -√3/3.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os pontos de interseção satisfazem sen(x) = cos(x), pois f(x) = g(x) nesses pontos. Passo 2: Se cos(x) = 0, então sen(x) = ±1, o que contradiz sen(x) = cos(x) = 0; logo cos(x) é não nulo e podemos dividir os dois lados por cos(x), obtendo tan(x) = 1. Passo 3: A tangente vale 1 em x = pi/4 + k·pi, para k inteiro, pois a tangente tem período pi. Passo 4: Calculamos y_k = sen(pi/4 + k·pi). Para k par, y_k = sen(pi/4) = raiz de 2 sobre 2. Para k ímpar, y_k = sen(5pi/4) = -raiz de 2 sobre 2. Verificação: cos(pi/4) = raiz de 2 sobre 2 e cos(5pi/4) = -raiz de 2 sobre 2, coerente com sen(x) = cos(x). Passo 5: Portanto, os possíveis valores de y_k são raiz de 2 sobre 2 e -raiz de 2 sobre 2, o que corresponde à alternativa A, igual ao gabarito oficial. Passo 6: A alternativa B está errada porque o valor correto é raiz de 2 sobre 2, e não raiz de 2 sobre 3. A alternativa C está errada porque raiz de 3 sobre 2 é o seno de pi/3, ângulo que não satisfaz sen(x) = cos(x). A alternativa D está errada porque raiz de 3 sobre 3 é a tangente de pi/6, e não o valor da ordenada de um ponto de interseção.
💡 Dica: Iguale sen(x) e cos(x) e resolva para encontrar y_k.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Os pontos de interseção ocorrem quando sen(x) = cos(x), o que acontece para ângulos x = π/4 + kπ, e nesses pontos o valor de y é sen(π/4) = cos(π/4) = √2/2, incluindo o sinal negativo para os valores no segundo ciclo.
O aluno resolve corretamente até o valor do seno, mas registra o denominador como 3 em vez de 2, trocando o valor de raiz de 2 sobre 2 por raiz de 2 sobre 3.
O aluno associa a interseção ao ângulo de 60 graus, cujo seno é raiz de 3 sobre 2, e não percebe que sen(x) = cos(x) exige x = pi/4 + k·pi.
O aluno confunde a condição tan(x) = 1 com um valor notável de tangente, usando raiz de 3 sobre 3, que é tan(pi/6), como se fosse a ordenada do ponto.
Raio-X da questão
interseção funções trigonométricas
diagnostico
funções trigonométricas básicas · equações trigonométricas simples
Estude propriedades e interseções de funções seno e cosseno.
Confundir os valores de seno e cosseno ou não considerar todas as soluções para a igualdade.
pensamento_critico
abstrato
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