Considere as matrizes reais M = [[a, b], [a², b²]] e N = [[a, 1, b], [1, a.b, 0], [a, 0, b]]. Se o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere as matrizes reais M = [[a, b], [a², b²]] e N = [[a, 1, b], [1, a.b, 0], [a, 0, b]]. Se o determinante de M é igual a 2 e o determinante de N é igual a 1, então, o produto a.b pode ser igual a (UECE 2021)
- A) -1 ou 2.
- B) 1 ou -2.
- C) -1 ou -2.
- D) 1 ou 2.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o determinante de M = [[a, b], [a^2, b^2]]. Ele vale a*b^2 - b*a^2 = ab(b - a). Como o enunciado diz que det M = 2, temos ab(b - a) = 2.
- Calcule o determinante de N = [[a, 1, b], [1, ab, 0], [a, 0, b]] pela primeira linha. Temos a*(ab*b - 0) - 1*(1*b - 0*a) + b*(1*0 - ab*a) = a^2b^2 - b - a^2b^2 = -b. Como det N = 1, então -b = 1 e b = -1.
- Substitua b = -1 na equação de M: a*(-1)*((-1) - a) = 2, ou seja, a(1 + a) = 2, o que dá a^2 + a - 2 = 0.
- Resolva a equação do segundo grau: (a + 2)(a - 1) = 0, logo a = -2 ou a = 1.
- Calcule o produto ab para cada valor de a, lembrando que b = -1. Se a = 1, então ab = -1. Se a = -2, então ab = 2.
- Portanto ab pode ser -1 ou 2, que é exatamente a alternativa A, a mesma indicada no gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B usa 1 e -2, mas o sinal de b foi ignorado; a alternativa C mistura valores de b com sinais diferentes; a alternativa D usa 1 e 2, que são os módulos dos valores corretos, desconsiderando o sinal negativo de b.
💡 Dica: Calcule os determinantes e relacione as expressões para encontrar a possível valor de a.b.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O cálculo dos determinantes leva a um sistema que admite a.b = -1 ou 2 como soluções possíveis, conforme a análise algébrica das matrizes dadas.
O aluno encontra corretamente a = 1 e a = -2, mas ao calcular o produto ab esquece o sinal negativo de b = -1, tomando ab como a*1.
O aluno acerta b = -1 e a = 1, obtendo -1, mas para a = -2 usa b = 1 no produto, trocando o sinal de b entre os cálculos.
O aluno trata o produto ab como positivo, ou seja, considera apenas os módulos dos valores, ignorando que b = -1 é negativo.
Raio-X da questão
determinante de matrizes
avaliacao
operações com matrizes · cálculo de determinantes
estude propriedades e cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3
confundir cálculo do determinante ou esquecer propriedades específicas para matrizes 2x2 e 3x3.
pensamento_critico
abstrato
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