Considere a matriz M = [[1, x, 3], [2, 1, 2], [3, y, 1]], em que x e y são números reais. Se det(M) representa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a matriz M = [[1, x, 3], [2, 1, 2], [3, y, 1]], em que x e y são números reais. Se det(M) representa o determinante da matriz M, então, em um plano com o sistema de coordenadas cartesiano usual, a equação det(M) = -4 expressa a equação de uma reta. A distância dessa reta à origem do sistema de coordenadas é igual a (UECE 2020)
- A) √2/2 u.c.
- B) √2/3 u.c.
- C) √3/2 u.c.
- D) √3 u.c.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcular o determinante de M = [[1, x, 3], [2, 1, 2], [3, y, 1]] pela regra de Sarrus ou por cofatores. Det(M) = 1*(1*1 - 2*y) - x*(2*1 - 2*3) + 3*(2*y - 1*3) = 1 - 2y + 4x + 6y - 9 = 4x + 4y - 8.
- Igualar a -4, conforme o enunciado: 4x + 4y - 8 = -4, o que resulta em 4x + 4y = 4, ou seja, x + y = 1. Essa é a equação de uma reta no plano: x + y - 1 = 0.
- Aplicar a fórmula da distância de um ponto (x0, y0) a uma reta ax + by + c = 0: d = |a*x0 + b*y0 + c| / raiz de (a^2 + b^2). Com (x0, y0) = (0, 0), a = 1, b = 1 e c = -1, temos d = |-1| / raiz de 2 = 1/raiz de 2.
- Racionalizar: 1/raiz de 2 = raiz de 2 / 2 u.c. Logo a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B (raiz de 2 / 3) aparece se o denominador da distância for mal calculado; a alternativa C (raiz de 3 / 2) surge ao usar a raiz da soma de três coeficientes ao quadrado; a alternativa D (raiz de 3) decorre de tomar raiz de 3 como distância sem a divisão correta.
💡 Dica: Calcule o determinante, forme a equação da reta e use a fórmula da distância ponto-reta.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Calculando o determinante e reorganizando a equação, obtém-se uma reta cuja distância à origem é √2/2 unidades de comprimento.
O aluno calcula a equação da reta corretamente, mas usa um denominador errado na fórmula da distância, substituindo raiz de 2 por 3 ao simplificar a expressão.
O aluno aplica a fórmula da distância com a raiz da soma de três quadrados (1^2 + 1^2 + 1^2 = 3), misturando a fórmula do plano com a da reta no plano, e chega a raiz de 3 / 2.
O aluno calcula a raiz de 3 como distância, usando a soma dos três coeficientes da equação ao quadrado e ignorando a divisão pelo módulo do vetor normal da reta.
Raio-X da questão
determinante matriz reta distancia
avaliacao
determinante de matriz 3x3 · distancia ponto a reta
estude determinante de matriz e distancia ponto a reta
Confundir o cálculo do determinante ou aplicar incorretamente a fórmula da distância da reta à origem.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Os elementos a, b, c, d da matriz M = [[a, b], [c, d]] são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no conjunto…
- Se x e y são números reais distintos e não nulos, a matriz X = ((x 1), (y 1)) admite inversa X?¹. A soma dos elementos…
- Observe a matriz: [ [3 + t, -4], [3, t - 4] ]. Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t…
- Considere as matrizes reais M = [[a, b], [a², b²]] e N = [[a, 1, b], [1, a.b, 0], [a, 0, b]]. Se o determinante de M é…
- Em um gráfico no plano cartesiano, uma reta passa pelos pontos (0, -3), (2, 1) e (4, 5). Esses pontos foram obtidos a…
- No caderno, um estudante escreveu a equação y = -x + 4 e desenhou sua representação no plano cartesiano. Ele observou…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog