Os elementos a, b, c, d da matriz M = [[a, b], [c, d]] são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no…

Questão

Os elementos a, b, c, d da matriz M = [[a, b], [c, d]] são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no conjunto {1, 3, 5, 7}. Considerando-se, para cada escolha destes elementos, d o determinante de M, o número de valores distintos que d pode assumir é (UECE 2019)

1. A) 6.
2. B) 8.
3. C) 16.
4. D) 24.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Como a, b, c, d são distintos e escolhidos em {1, 3, 5, 7}, eles são uma permutação dos quatro números. Assim, o determinante é d = ad - bc, onde {a, d} e {b, c} formam uma partição de {1, 3, 5, 7} em dois pares. Passo 2: Existem três maneiras de separar {1, 3, 5, 7} em dois pares: (i) {1, 3} e {5, 7}, com produtos 3 e 35; (ii) {1, 5} e {3, 7}, com produtos 5 e 21; (iii) {1, 7} e {3, 5}, com produtos 7 e 15. Passo 3: Para cada partição, a diferença entre os produtos pode ser positiva ou negativa, dependendo de qual par vai para a diagonal principal (ad) e qual vai para a secundária (bc). Na partição (i), 3 - 35 = -32 e 35 - 3 = 32. Na partição (ii), 5 - 21 = -16 e 21 - 5 = 16. Na partição (iii), 7 - 15 = -8 e 15 - 7 = 8. Passo 4: Os valores possíveis do determinante são, portanto, -32, 32, -16, 16, -8 e 8, totalizando 6 valores distintos. Passo 5: Logo, a alternativa correta é A (6), que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa B (8) ignora os valores negativos; a alternativa C (16) é apenas um dos valores possíveis, não a quantidade deles; a alternativa D (24) é o número de permutações dos quatro elementos, mas muitas delas produzem o mesmo determinante.

💡 Dica: Calcule o determinante para todas as combinações possíveis e conte os valores distintos.

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Raio-X da questão

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