Para cada número inteiro positivo k seja x_k = k/(k+1). O menor valor do número inteiro positivo n para o qual…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para cada número inteiro positivo k seja x_k = k/(k+1). O menor valor do número inteiro positivo n para o qual o produto x_1.x_2.x_3. . . x_n é menor do que 0,02 é igual a (UECE 2020)
- A) 52.
- B) 51.
- C) 50.
- D) 49.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule o produto. x_k = k/(k+1), então x_1 = 1/2, x_2 = 2/3, x_3 = 3/4, e assim por diante. Ao multiplicar, os numeradores e denominadores se cancelam em cadeia (telescopagem): (1/2)(2/3)(3/4)...(n/(n+1)) = 1/(n+1). Passo 2: Escreva a condição do enunciado. Queremos 1/(n+1) < 0,02. Passo 3: Resolva a desigualdade. Como 0,02 = 1/50, a condição 1/(n+1) < 1/50 equivale a n+1 > 50, ou seja, n+1 > 50. Passo 4: Encontre o menor inteiro positivo. n+1 precisa ser maior que 50, então o menor valor possível é n+1 = 51, o que dá n = 50. Passo 5: Verifique. Para n = 50, o produto é 1/51, que é aproximadamente 0,0196, menor que 0,02. Para n = 49, o produto é 1/50 = 0,02, que não é menor que 0,02, então n = 49 não serve. Passo 6: Conclusão. A resposta correta é n = 50, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (52) é maior que o necessário, pois n = 50 já satisfaz a condição; B (51) também satisfaz a condição, mas não é o menor valor; D (49) gera produto exatamente igual a 0,02, e a desigualdade é estrita.
💡 Dica: Calcule o produto e use desigualdade para encontrar n.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo de 1/51 ou aproximou mal o valor, achando que 1/51 ainda não é menor que 0,02, ou exigiu uma folga desnecessária no índice.
O aluno provavelmente aplicou mal a telescopagem ou deslocou o índice em uma unidade, por exemplo tomando o produto como 1/n em vez de 1/(n+1), o que leva a n = 51 como menor valor.
CORRETA. O produto telescópico x_1 * x_2 * ... * x_n = 1/(n+1). Para que seja menor que 0,02, temos 1/(n+1) < 0,02, ou seja, n+1 > 50, logo o menor n inteiro positivo é 50.
O aluno provavelmente ignorou que a desigualdade é estrita, considerando 1/50 = 0,02 como suficiente para satisfazer 'menor do que 0,02'.
Raio-X da questão
produto de sequências
avaliacao
frações e produtos · inequações simples
estude produtos e desigualdades envolvendo sequências
Confundir produto com soma ou não aplicar corretamente a desigualdade para encontrar n.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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