Para cada número natural n, defina x_n = log(2^n), onde log(z) representa logaritmo de z na base 10. Assim…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para cada número natural n, defina x_n = log(2^n), onde log(z) representa logaritmo de z na base 10. Assim, pode-se afirmar corretamente que x_1 + x_2 + x_3 + · · · + x_8 é igual a (UECE 2019)
- A) 6x_8.
- B) 8x_4.
- C) 8x_6.
- D) 9x_4.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Aplique a propriedade do logaritmo de potência, log(a^k) = k·log(a). Como x_n = log(2^n), temos x_n = n·log(2). Passo 2: Calcule a soma pedida: x_1 + x_2 + ... + x_8 = 1·log(2) + 2·log(2) + ... + 8·log(2) = (1 + 2 + ... + 8)·log(2). Passo 3: A soma dos números de 1 a 8 é 36, pela fórmula da soma de uma progressão aritmética: (1 + 8)·8/2 = 36. Logo, a soma vale 36·log(2). Passo 4: Verifique cada alternativa usando x_n = n·log(2). A alternativa A, 6x_8, vale 48·log(2), então está errada. A alternativa B, 8x_4, vale 32·log(2), então está errada. A alternativa C, 8x_6, vale 48·log(2), então está errada. A alternativa D, 9x_4, vale 9·4·log(2) = 36·log(2), que coincide com a soma. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para simplificar a soma.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que a soma equivale a 6 vezes o último termo, sem calcular os termos individualmente. Além disso, usa o índice 6 como se fosse o número de parcelas, o que não corresponde à quantidade real de termos somados.
O aluno multiplica x_4 pelo número de parcelas (8) como se todos os termos fossem iguais a x_4, ignorando que x_n cresce com n. Assim, trata a soma como se fosse 8 parcelas idênticas.
O aluno toma x_6 como valor médio ou representativo dos termos e o multiplica pela quantidade de parcelas (8). Ele não percebe que a soma de n de 1 a 8 é 36, não 48.
CORRETA. A soma x_1 + x_2 + ... + x_8 é igual a 9x_4, pois x_n = n log(2), e a soma dos primeiros 8 termos é log(2) vezes a soma dos números de 1 a 8, que é 36; como x_4 = 4 log(2), 9x_4 = 9 * 4 log(2) = 36 log(2), que é exatamente a soma.
Raio-X da questão
propriedades dos logaritmos
diagnostico
logaritmo base 10 · potencia de base 2
Estude as propriedades básicas dos logaritmos e potências.
Confundir a soma dos logaritmos com o logaritmo do produto ou esquecer a base do logaritmo.
pensamento_critico
abstrato
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