Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13, e se…

Questão

Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13, e se a soma dos três maiores divisores de n é igual a 3905, então, n é igual a (UECE 2019)

1. A) 2535.
2. B) 2847.
3. C) 2769.
4. D) 2028.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Como 1, 3 e 13 são os três menores divisores de n, então 3 divide n, 13 divide n, e nenhum número entre 3 e 13 divide n (2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 não são divisores). Em particular, n é ímpar e não é múltiplo de 9, 5, 7 ou 11. Como 3 e 13 dividem n, então 39 também divide n.
2. Os divisores de n vêm em pares (d, n/d). O maior divisor é n, o segundo maior é n/3 (par de 3) e o terceiro maior é n/13 (par de 13). Assim, a soma dos três maiores divisores é n + n/3 + n/13 = 3905.
3. Calcule o coeficiente: 1 + 1/3 + 1/13 = (39 + 13 + 3)/39 = 55/39. Então n * 55/39 = 3905, logo n = 3905 * 39 / 55. Como 3905 = 55 * 71, temos n = 71 * 39 = 2769.
4. Verificação. 2769 = 3 * 13 * 71. Os menores divisores são 1, 3, 13 (2769 é ímpar, não é múltiplo de 5, 7, 9 nem 11). Os maiores divisores são 2769, 923 (= 2769/3) e 213 (= 2769/13), cuja soma é 2769 + 923 + 213 = 3905. Confere.
5. Por que as outras estão erradas. A) 2535 é múltiplo de 5, que seria um divisor menor que 13, e a soma dos três maiores divisores não daria 3905. B) 2847 = 3 * 13 * 73 tem os menores divisores corretos, mas a soma dos três maiores é 2847 + 949 + 219 = 4015, e não 3905. D) 2028 é par, então 2 é divisor menor que 3, o que contradiz os menores divisores 1, 3 e 13.
6. Conclusão: a alternativa correta é a C, 2769, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Use propriedades dos divisores e fatoração para encontrar n.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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