Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2^x e g(x) = x^3. Se h = g o f é a função…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2^x e g(x) = x^3. Se h = g o f é a função composta de g com f (isto é, h(x) = g(f(x))), então, a expressão que define a função h^-1, inversa da função h, é h^-1(x) igual a (UECE 2021)
- A) 2.log_2(x/3).
- B) 3.log_3(x/2).
- C) 1/2 log_3(x).
- D) 1/3 log_2(x).
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule a composta h(x) = g(f(x)). Como f(x) = 2^x e g(y) = y^3, temos h(x) = (2^x)^3 = 2^(3x).
- Para inverter h, faça y = h(x) = 2^(3x) e isole x em função de y.
- Tome o logaritmo de base 2 dos dois lados: log_2(y) = 3x, pois log_2(2^(3x)) = 3x.
- Divida por 3: x = (1/3) log_2(y).
- Trocando o nome da variável, h^-1(x) = (1/3) log_2(x), que é a alternativa D.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A usa coeficiente 2 e divide x por 3 dentro do logaritmo, o que não corresponde à inversa de 2^(3x); a alternativa B troca a base do logaritmo para 3 e também a posição dos coeficientes, sem qualquer relação com a base 2 da exponencial; a alternativa C troca a base 2 por 3 e usa coeficiente 1/2, quando o expoente da exponencial é 3x.
- Verificação: h(h^-1(x)) = 2^(3 * (1/3) log_2(x)) = 2^(log_2(x)) = x, confirmando a inversa.
💡 Dica: Calcule a função composta e depois encontre a inversa.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte a relação de forma incorreta, usando o coeficiente 2 no lugar de 1/3 e dividindo x por 3 dentro do logaritmo, como se a divisão pelo expoente fosse feita no argumento.
O aluno confunde a base da exponencial (2) com números do enunciado, usando base 3 para o logaritmo e coeficiente 3, sem reconhecer que a base da função h é 2.
O aluno lê mal os valores envolvidos, trocando a base 2 por 3 e usando coeficiente 1/2 em vez de 1/3, o que indica descuido na identificação do expoente 3x e da base.
CORRETA. A função composta é h(x) = (2^x)^3 = 2^{3x}, logo h^{-1}(x) = (1/3) log_2(x), que corresponde à alternativa D.
Raio-X da questão
função composta e inversa
avaliacao
função exponencial · função polinomial
estude definição e cálculo de funções inversas e compostas
Confundir a ordem da composição ou aplicar incorretamente a inversa da função composta.
pensamento_critico
abstrato
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