Se a função f : R - {2} ? R é definida por f(x) = \frac{2x+1}{x-2} e a função g : R - {2} ? R é definida por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se a função f : R - {2} ? R é definida por f(x) = \frac{2x+1}{x-2} e a função g : R - {2} ? R é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a [FUVEST 2019 - Questão 47] FUVEST - 2019
- A) \frac{x}{2}
- B) x²
- C) 2x
- D) 2x + 3
- E) x
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o que é pedido. g(x) = f(f(x)), ou seja, aplicamos f duas vezes. Como f(x) = (2x+1)/(x-2), substituímos x por f(x) nessa expressão.
- Seja y = f(x) = (2x+1)/(x-2). Então f(y) = (2y+1)/(y-2).
- Calcule o numerador 2y+1. Como y = (2x+1)/(x-2), temos 2y+1 = (2(2x+1) + (x-2))/(x-2) = (4x+2+x-2)/(x-2) = 5x/(x-2).
- Calcule o denominador y-2. Temos y-2 = ((2x+1) - 2(x-2))/(x-2) = (2x+1-2x+4)/(x-2) = 5/(x-2).
- Divida o numerador pelo denominador. f(y) = (5x/(x-2)) / (5/(x-2)) = 5x/5 = x. Logo g(x) = x.
- Verifique o domínio. A expressão está definida para x diferente de 2. Além disso, f(x) nunca vale 2, pois (2x+1)/(x-2) = 2 levaria a 2x+1 = 2x-4, o que é impossível. Assim, f(x) sempre está no domínio de f e g(x) = x está definida em R - {2}.
- Conclusão. A alternativa correta é E, x, que coincide com o gabarito oficial. As demais estão erradas: A) x/2 não corresponde ao resultado da composição; B) x² não aparece ao compor funções; C) 2x mantém apenas o coeficiente do numerador; D) 2x+3 não resulta de nenhuma simplificação correta da composição.
💡 Dica: Substitua f(x) na definição de g(x) e simplifique a expressão.
Alternativa por alternativa
Provavelmente o aluno cancelou fatores de forma incorreta no numerador ou no denominador, tratando a divisão de frações como se houvesse um fator 2 a mais no resultado.
O aluno interpretou f(f(x)) como o quadrado de f(x), isto é, [f(x)]², em vez de aplicar a função f ao resultado de f(x).
O aluno considerou apenas os coeficientes dominantes da expressão e concluiu que a composição mantém o fator 2 do numerador, sem fazer a simplificação completa.
O aluno somou termos de forma incorreta ao desenvolver 2y+1 e y-2 com denominador x-2, errando a distribuição do numerador e a combinação dos termos em x.
Por que engana: Confundir a operação de composição de funções com a multiplicação ou adição simples das funções.
CORRETA. Após a composição e simplificação, g(x) = x.
Raio-X da questão
composição de funções
avaliacao
composição de funções · funções racionais
Revisar definição e cálculo de composição de funções racionais.
Confundir a operação de composição de funções com a multiplicação ou adição simples das funções.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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