No plano cartesiano, considere as retas r: y = x e s: y = x - 4 (r ? s) e a transversal t: y = -x + 2. Seja A…

Questão

No plano cartesiano, considere as retas r: y = x e s: y = x - 4 (r ? s) e a transversal t: y = -x + 2. Seja A = rnt e B = snt. Considere também o ponto P(0,0). a) Determine as coordenadas de A e B. b) Determine o centro O da circunferência que passa por A, B e P. c) Calcule a medida do ângulo inscrito subtendido pelo arco AB (ângulo APB) e a distância AB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Resolver sistemas: A = rnt ? y=x e y=-x+2 ? 2x=2 ? A(1,1). B = snt ? y=x-4 e y=-x+2 ? 2x=6 ? B(3,-1). b) Circunferência por A,B,P(0,0): calcular mediatrizes de AB e AP e intersectá-las. Mid AB M1(2,0), coef. AB = -1 ? mediatriz: y = x - 2. Mid AP M2(0.5,0.5), coef. AP = 1 ? mediatriz: y = -x + 1. Interseção: x=1.5, y=-0.5 ? O(1.5,-0.5). c) Raio R = OA = v2.5. Vetores OA = (-0.5,1.5), OB = (1.5,-0.5). Produto escalar = -1.5, |OA|=|OB|=v2.5 ? cos?AOB = -1.5/2.5 = -0.6 ? ?AOB ˜ 126.87°. Ângulo inscrito APB = ½?AOB ˜ 63.43°. Distância AB = v((3-1)²+(-1-1)²)=v8=2v2 ˜2.828.

Explicação

A determinação dos pontos A e B é feita resolvendo os sistemas de equações que representam as interseções das retas com a transversal. O centro O da circunferência é encontrado através da interseção das mediatrizes dos segmentos AB e AP, garantindo que O equidista dos três pontos. O cálculo do ângulo inscrito APB e da distância AB utiliza propriedades de vetores e relações trigonométricas, resultando em valores precisos para a geometria da situação.

Raio-X da questão

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