No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de…

Questão

No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4), é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale [FUVEST 2011 - Questão 28] FUVEST - 2011

1. A) v5 / 8
2. B) v5 / 4
3. C) v5 / 2
4. D) 3v5 / 4
5. E) v5

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Como a circunferência C passa por (0,3) e tangencia a outra circunferência nesse mesmo ponto, o centro de C está sobre a reta que liga o centro da segunda circunferência, (-1/2, 4), ao ponto de tangência (0,3). Essa reta tem direção (1/2, -1), logo qualquer ponto dela pode ser escrito como (t/2, 3 - t). Passo 2: Impondo que a distância do centro (t/2, 3 - t) até (0,3) seja igual à distância até (-1,0), temos (t/2 + 1)^2 + (3 - t)^2 = t^2 * 5/4. Desenvolvendo: t^2/4 + t + 1 + 9 - 6t + t^2 = 5t^2/4, o que simplifica para -5t + 10 = 0, logo t = 2. Passo 3: O centro de C é (1, 1). O raio é a distância de (1,1) até (0,3), que é raiz de (1 + 4) = raiz de 5. Conferindo com (-1,0): a distância também é raiz de (4 + 1) = raiz de 5. Passo 4: Verificação da tangência: a distância entre os centros, de (1,1) até (-1/2,4), é raiz de (9/4 + 9) = 3 raiz de 5 / 2, que é igual à soma dos raios, raiz de 5 + raiz de 5 / 2 = 3 raiz de 5 / 2. Como a soma confere, a tangência é externa e a resposta é consistente. Passo 5: Conclusão: o raio de C vale raiz de 5, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. As outras alternativas estão erradas: A e B são frações menores do valor correto, C é o raio da segunda circunferência e não de C, e D corresponde à metade da distância entre os centros.

💡 Dica: Use a definição de circunferência e a condição de tangência para montar equações e encontrar o raio.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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