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Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de interseção da circunferência com o eixo y. [IMAGEM] Considere o ponto R, do gráfico de y = vx, que possui ordenada y igual à do ponto P. A abscissa x de R é igual a UNESP - 2018

A) 9.
B) 16.
C) 15.
D) 12.
E) 18.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

A circunferência tem centro na origem e passa por Q(3, 3). O raio ao quadrado é r^2 = 3^2 + 3^2 = 18, portanto r = raiz de 18 = 3 vezes raiz de 2.
O ponto P é a interseção da circunferência com o eixo y, onde a abscissa é zero. Como P está na circunferência, suas coordenadas são (0, r), e a ordenada de P é y_P = raiz de 18 = 3 vezes raiz de 2.
O ponto R pertence ao gráfico de y = raiz de x (a expressão 'vx' do enunciado representa a raiz quadrada de x) e tem a mesma ordenada de P. Logo, raiz de x = raiz de 18. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos x = 18.
A abscissa de R é 18, alternativa E, que é o gabarito.
Por que as outras estão erradas: a alternativa A (9) é o quadrado da coordenada 3 de Q, sem relação com a ordenada de P; a alternativa B (16) supõe que a ordenada de P seria 4, o que não corresponde a raiz de 18; a alternativa C (15) resulta de subtrair 3 de 18, operação sem sentido aqui; a alternativa D (12) vem de um cálculo incorreto do raio ao quadrado.

💡 Dica: Use a equação da circunferência e a relação do ponto R para encontrar x.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno toma a coordenada 3 de Q, eleva ao quadrado (3^2 = 9) e usa esse valor como abscissa de R, sem relacionar a ordenada de P com a curva.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno supõe que a ordenada de P é 4 (ou que o raio ao quadrado vale 16), tratando raiz de 18 como se fosse raiz de 16.

Por que engana: Confundir as coordenadas dos pontos ou esquecer que P está no eixo y.

C Erradaerro: Atenção

O aluno calcula corretamente r^2 = 18, mas subtrai 3 em vez de elevar ao quadrado a ordenada, obtendo 18 - 3 = 15.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno calcula o raio de forma incorreta, por exemplo multiplicando 4 por 3 em vez de somar os quadrados das coordenadas de Q, e obtém 12 como abscissa.

E Correta

Correta. O ponto Q(3, 3) está na circunferência centrada na origem, então sua equação é x^2 + y^2 = r^2. Substituindo Q: 3^2 + 3^2 = r^2 ? r^2 = 18. O ponto P está sobre o eixo y, então sua abscissa é 0, ficando P(0, y). Substituindo na equação: 0^2 + y^2 = 18 ? y = v18. No gráfico de y = vx, para y = v18, temos v18 = vx ? x = 18. Portanto, a abscissa de R é 18.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

circunferência, pontos, plano cartesiano

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

equação da circunferência · coordenadas no plano cartesiano

📚 Reveja

estude equação da circunferência e coordenadas no plano cartesiano

⚠️ Erro mais comum

Confundir as coordenadas dos pontos ou esquecer que P está no eixo y.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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