No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a [FUVEST 2010 - Questão 78] FUVEST - 2010
- A) 3v2/2
- B) 5v2/2
- C) 7v2/2
- D) 9v2/2
- E) 11v2/2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A reta x + y = 2 é tangente a C no ponto (0,2). O raio que liga o centro ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. Como a reta x + y = 2 tem inclinação -1, o raio tem inclinação 1, ou seja, o centro está sobre a reta y = x + 2. Passo 2: Escrevemos o centro como O = (t, t + 2), para algum número real t. Passo 3: O raio r é a distância de O até o ponto de tangência (0,2): r^2 = t^2 + t^2 = 2t^2. Passo 4: O ponto (1,0) pertence a C, então a distância de O até (1,0) também é r. Logo (t - 1)^2 + (t + 2)^2 = 2t^2. Desenvolvendo: t^2 - 2t + 1 + t^2 + 4t + 4 = 2t^2, o que resulta em 2t + 5 = 0, portanto t = -5/2. Passo 5: O centro é (-5/2, -1/2) e o raio é r = |t| vezes raiz de 2 = (5/2) vezes raiz de 2, ou seja, 5v2/2. Passo 6: Verificação: a distância de (-5/2, -1/2) até (0,2) é raiz de (25/4 + 25/4) = raiz de (50/4) = 5v2/2, e a distância até (1,0) é raiz de (49/4 + 1/4) = raiz de (50/4), igual ao raio. Conclusão: a alternativa correta é a B, de acordo com o gabarito oficial. As outras alternativas estão erradas: A (3v2/2) não satisfaz a condição de distância ao ponto (1,0); C (7v2/2) resulta de erro no cálculo de t; D (9v2/2) resulta de erro de sinal ou de contas na expansão; E (11v2/2) decorre de identificar mal o centro sobre a normal.
💡 Dica: Use a condição de tangência e a distância entre pontos para encontrar o raio.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente encontrou um valor errado de t ao resolver a equação, por exemplo uma soma de termos com sinal trocado, e não verificou o resultado com o ponto (1,0).
Por que engana: Confundir a distância do centro da circunferência ao ponto de tangência com o raio, levando a um cálculo incorreto.
Incorreta. Raio subestimado.
O aluno provavelmente errou o sinal ao desenvolver (t-1)^2 ou (t+2)^2, o que leva a um valor incorreto de t e, consequentemente, a um raio de 7v2/2.
O aluno pode ter esquecido o termo independente de um dos quadrados ou trocado o sinal de t na coordenada do centro, obtendo um raio de 9v2/2.
O aluno provavelmente supôs que o centro está sobre a reta x + y = 2 ou a usou na direção errada, em vez de usar a normal passando por (0,2), e por isso chegou a um raio de 11v2/2.
Raio-X da questão
circunferência, reta tangente, raio
avaliacao
equação da circunferência · reta tangente
Revisar propriedades de circunferência e reta tangente no plano cartesiano.
Confundir a distância do centro da circunferência ao ponto de tangência com o raio, levando a um cálculo incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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