Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de…

Questão

Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de um ponto 0. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x^2 + y^2 = 25. Observe a figura: (imagem de um plano com eixos x e y, ponto O na origem, trajetória circular tracejada e ponto P na circunferência). Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P (4, 3). A partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P. Determine a equação dessa reta. Determine a equação da reta tangente à trajetória T no ponto P (4, 3), que é a direção seguida pelo objeto após o fio arrebentar. (UERJ 2013)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A trajetória T é uma circunferência de raio 5. Seja r a reta tangente a T no ponto P(4,3). O vetor normal a r nesse ponto é ?n = (4,3); consequentemente, a reta r tem equação da forma r: 4x + 3y + c = 0. Se P pertence a r, 4.4 + 3.3 + c = 0 e assim c = -25. A reta r tem equação 4x + 3y = 25.

Explicação

Derive implicitamente a equação da circunferência para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto P(4,3) e use a fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0).

Raio-X da questão

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