Se dois círculos cujas medidas dos raios são respectivamente u e v com u < v são tangentes exteriormente no…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se dois círculos cujas medidas dos raios são respectivamente u e v com u < v são tangentes exteriormente no ponto P e se estes círculos também tangenciam os lados de um ângulo com vértice no ponto M, então, o comprimento do segmento MP é (UECE 2019)
- A) (2u + v) / (v - u).
- B) 2uv / (v - u).
- C) uv / (v - u).
- D) 2(u + v) / (v - u).
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como os dois círculos tangenciam os dois lados do ângulo, seus centros O1 (raio u) e O2 (raio v) estão sobre a bissetriz do ângulo com vértice M. Seja θ a metade da medida do ângulo.
- A distância de M ao centro de um círculo de raio r tangente aos lados é r / sen θ. Logo MO1 = u / sen θ e MO2 = v / sen θ.
- Os círculos são tangentes exteriormente em P, que fica sobre a reta dos centros, com O1P = u e PO2 = v. Assim O1O2 = u + v.
- Como M, O1 e O2 estão alinhados nessa ordem, MO2 = MO1 + O1O2, ou seja, v / sen θ = u / sen θ + (u + v). Daí (v - u) / sen θ = u + v, e portanto sen θ = (v - u) / (u + v).
- Como P está entre O1 e O2, MP = MO1 + O1P = u / sen θ + u = u(u + v) / (v - u) + u = [u(u + v) + u(v - u)] / (v - u) = 2uv / (v - u).
- Conferência com o gabarito: a alternativa B, 2uv / (v - u), coincide com o resultado obtido, então o gabarito está correto.
- Por que as outras estão erradas: A não surge da relação entre as distâncias ao vértice e os raios; C corresponde à metade do valor correto, pois omite o fator 2 da soma MO1 + u; D resulta de tratar MP como 2 / sen θ, ignorando o fator u da distância MO1.
💡 Dica: Use propriedades de tangência e relações geométricas entre círculos e ângulos.
Alternativa por alternativa
O aluno soma os raios de forma inadequada ao calcular MP, como se o ponto P estivesse a uma distância baseada em (2u + v) e não na soma MO1 + u. Ele não percebe que a distância do vértice ao ponto de tangência depende da relação entre as distâncias aos centros.
CORRETA. A fórmula 2uv / (v - u) resulta da aplicação correta das propriedades dos círculos tangentes exteriormente e da relação entre os raios e o segmento MP no ângulo.
O aluno calcula corretamente sen θ e MO1, mas esquece que MP = MO1 + u, ou seja, perde a parcela referente ao raio do círculo menor, o que deixa o resultado pela metade. Ele confunde o segmento MP com um trecho parcial do percurso.
O aluno determina sen θ = (v - u) / (u + v), mas depois escreve MP como 2 / sen θ, ignorando o fator u presente na distância MO1 = u / sen θ. Ele trata a distância ao ponto de tangência como se fosse proporcional apenas à razão entre os raios.
Raio-X da questão
tangência de círculos e segmentos
avaliacao
propriedades de círculos · relações métricas em ângulos
Estude propriedades de círculos tangentes e segmentos relacionados a ângulos.
Confundir as propriedades de tangência externa e interna, ou aplicar fórmulas incorretas para o segmento MP.
pensamento_critico
abstrato
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