(Dissertativa) Em uma circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente no ponto P. Sabe-se que AP…

Questão

(Dissertativa) Em uma circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente no ponto P. Sabe-se que AP = 4 cm, PB = 6 cm e PC = 3 cm. Determine PD e justifique a resolução usando semelhança de triângulos e relações entre arcos/ângulos inscritos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Ao traçar as cordas AC e BD que se cruzam em P, considere os triângulos ?APB e ?CPD. Observa-se: ?APB e ?CPD são opostos pelo vértice (iguais) e ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são correspondentes, logo ?APB ~ ?CPD. Da semelhança vêm as proporções entre lados correspondentes: AP/DP = PB/PC. Rearranjando, AP·PC = PB·PD, que é a relação clássica do produto dos segmentos das cordas. Substituindo os valores: 4·3 = 6·PD ? 12 = 6·PD ? PD = 12/6 = 2 cm. Portanto PD = 2 cm, com a justificativa baseada na semelhança de triângulos formados pelas cordas que se intersectam e na consequência algébrica dessa semelhança.

Explicação

A relação entre os segmentos das cordas que se cruzam é fundamentada na semelhança dos triângulos formados, onde ângulos opostos pelo vértice e ângulos correspondentes são iguais. A proporção resultante entre os lados dos triângulos permite estabelecer uma equação que relaciona os segmentos, levando à determinação do comprimento de PD. A aplicação dessa propriedade garante que a solução encontrada é válida e consistente com as propriedades geométricas da circunferência.

Raio-X da questão

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