Leia o texto a seguir. A partir de uma unidade de comprimento fixada, um número a > 0 é chamado de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Leia o texto a seguir. A partir de uma unidade de comprimento fixada, um número a > 0 é chamado de construtível se conseguirmos, usando apenas um compasso e uma régua não graduada, construir, com um número finito de passos, um segmento de reta cujo comprimento seja a. Dessa forma, construímos, inclusive, parte dos números irracionais. É a irregularidade que nasce da regularidade. Adaptado de: https://repositorio.ufpb.br/ Sabe-se que v5, v3 e v2 são exemplos de números irracionais construtíveis. Para ilustrar uma destas afirmações, tome um quadrado PUVQ de lado duas unidades. Seja M o ponto médio do segmento QV. Considere R como sendo o ponto de intersecção da semirreta QV com a circunferência de centro M e raio MU. [IMAGEM] Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a medida do raio MU e do segmento QR, respectivamente. UEL - 2025
- A) v2 e 1 + v2
- B) v3 e 1 + v3
- C) v5 e 1 + v5
- D) 1/2 v2 e 1 + v2
- E) 1/2 v5 e 1 + v5
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Fixe a unidade e observe que o quadrado PUVQ tem lado 2, logo QV e UV medem 2 e M, ponto médio de QV, está a 1 de Q e a 1 de V.
- No triângulo retângulo MVU (ângulo reto em V, pois V é vértice do quadrado), os catetos são MV = 1 e VU = 2. Pelo teorema de Pitágoras, MU^2 = 1^2 + 2^2 = 5, então MU = raiz de 5. Logo o raio da circunferência é raiz de 5.
- Tome a reta QV como eixo, com Q na origem e V em 2, de modo que M fica em 1. A circunferência de centro M e raio raiz de 5 corta a reta QV em dois pontos: 1 + raiz de 5 e 1 - raiz de 5. Como 1 - raiz de 5 é negativo, ele fica fora da semirreta QV, que parte de Q em direção a V.
- Portanto R está em 1 + raiz de 5 e o segmento QR mede 1 + raiz de 5. A alternativa correta é a C, que dá raiz de 5 para MU e 1 + raiz de 5 para QR.
- Comparando com o gabarito oficial C, há concordância; a análise confirma a resposta.
- Por que as outras estão erradas: na A, MU não é raiz de 2, pois o triângulo MVU tem catetos 1 e 2, não 1 e 1; na B, raiz de 3 resulta de somar 1 + 2 sem elevar o 2 ao quadrado; na D, 1/2 raiz de 2 não corresponde a nenhum segmento da construção; na E, a metade de raiz de 5 está errada, pois o raio é o próprio MU, e não sua metade.
💡 Dica: Use propriedades do ponto médio e da circunferência para calcular os segmentos.
Alternativa por alternativa
Aluno calcula MU como se fosse a diagonal de um quadrado de lado 1, usando raiz de 2, e acha QR = 1 + raiz de 2 por analogia.
Aluno soma os quadrados dos catetos incorretamente, fazendo 1 + 2 = 3 sem elevar o lado 2 ao quadrado, e obtém MU = raiz de 3.
Por que engana: Confundir a relação entre os segmentos e os valores dos números irracionais, escolhendo uma alternativa que parece correta mas não considera a construção geométrica adequada.
CORRETA. O número v5 é construtível. Pode ser construído como a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1 e 2. Uma vez que v5 é construtível, 1 + v5 também é construtível, pois a soma de números construtíveis é construtível. Esta é uma das construções clássicas de números irracionais com régua e compasso, frequentemente associada à proporção áurea. Embora todas as opções apresentem números construtíveis, a alternativa C é a que a banca considerou correta, possivelmente por ser um exemplo canônico ou por alguma especificidade didática.
Aluno toma metade de raiz de 2 como raio, confundindo MU com metade de uma diagonal, e combina isso com QR = 1 + raiz de 2.
Aluno acerta QR = 1 + raiz de 5, mas acredita que o raio MU é a metade da hipotenusa do triângulo MVU, fazendo MU = raiz de 5 / 2.
Raio-X da questão
números irracionais construtíveis, geometria analítica
avaliacao
números irracionais · geometria analítica
Revisar construção geométrica com compasso e régua e propriedades do ponto médio e circunferência.
Confundir a relação entre os segmentos e os valores dos números irracionais, escolhendo uma alternativa que parece correta mas não considera a construção geométrica adequada.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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